31.1.5 圆周角（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级下册

31.1.5 圆周角 第三十一章 圆 沪教版九年级下册 学习目标 1. 识别圆周角，牢记定义：顶点在圆上，两边都与圆相交；能区分圆心角、圆周角、圆外角、圆内角。 2.掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；会完成定理的分类证明（圆心在角内、边上、角外）。 一 3. 掌握两条推论： 推论① 在同圆或等圆中，同弧（等弧）所对圆周角相等；相等圆周角所对弧相等； 推论②：直径（半圆）所对圆周角是直角；90° 圆周角所对弦为直径。 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 圆周角 👉 问题1：什么叫作圆心角？ 顶点在圆心的角叫作圆心角. 👉 问题2：如图所示，图中的圆心角∠AOB大小与它所对弧的大小有什么关系？ 圆心角∠AOB 的度数等于它所对弧的度数。 👉 问题3：如图所示，图中∠ACB的顶点在哪里呢？它叫什么角？它的大小与的大小有关系吗？ 这些内容就是本节课要学的知识——圆周角. 合作探究 定义 顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫作圆周角. 圆周角的两边所夹的弧称为该圆周角所对的弧，但同一条弧对应的圆周角不唯一. 概念学习：圆周角的定义 思考： 如图所示,∠ACB所对的弧是________; 弧所对的圆周角有_________________; ∠FBD所对的弧是_____,所对的圆周角是______; ∠AEB ∠ACB ∠AFB ∠ADB 圆周角 如图所示，∠ACB就是所对的圆周角 合作探究 👉 思考：下列各图中的角是不是所对的圆周角？ 概念辨析：圆周角的定义 圆周角 图(1)(2)(3)中∠BAC都是所对的圆周角； 图(4)(5)中∠BAC是圆周角，但不是所对的圆周角； 图(6)中，因为点A不在圆上，所以∠BAC不是所对的圆周角. 合作探究 👉 思考：同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系? 性质探究：圆周角定理 圆周角 如图，在上题图(1)中，如果B、C两点把圆分成1：4的两条弧，点A在优弧上，则∠BOC=______，∠BAC=______ ∵BO=AO=CO， ∴∠BOC=2∠BAC, ∴∠BAC=∠BOC=36°, 72° 36° 解析 由题意可知=60°=72°， 所以∠BOC=72°； 图(1) 图(2) 合作探究 👉 思考：同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系? 性质探究：圆周角定理 圆周角 若上题如图(2)所示，是否也有类似的结论？∠BOC=____，∠BAC=____. 解析 由图(1)的结论可知 D ∠BOD=2∠BAD,∠COD=2∠CAD, ∵∠BOC=∠BOD+∠COD, ∴∠BOC=2∠BAD+2∠CAD=∠BAC 即∠BAC=∠BOC=36° 72° 36° 合作探究 👉 思考：同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系? 性质探究：圆周角定理 圆周角 若上题如图(3)所示，是否也有类似的结论？∠BOC=____，∠BAC=____. 解析 由图(1)的结论可知 D ∴∠BOD=2∠BAD,∠COD=2∠CAD, ∵∠BOC=∠BOD-∠COD, ∴∠BOC=2∠BAD-2∠CAD=∠BAC 即∠BAC=∠BOC=36° 72° 36° 图(3) 合作探究 性质探究：圆周角定理 圆周角 👉 猜想：同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系? 由上述三题我们可以猜想： 一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。 如何证明你的猜想？ 合作探究 性质探究：圆周角定理的证明 圆周角 👉 求证：一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半. 如图，⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC=∠BOC. 分析 如图所示， 圆心与圆周角之间有三种位置关系： 图(1)圆心O在圆周角的一边上， 图(2)圆心O在圆周角的内部， 图(3)圆心O在圆周角的外部. 图(1)属于特殊情形，利用三角形的外角及等腰三角形的外角性质即可证明结论； 图(2)(3)中，通过作直径AD，可将一般情形转化为图(1)的特殊情形加以证明. D D 合作探究 性质探究：圆周角定理的证明 圆周角 👉 求证：一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半. 如图，⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC=∠BOC. ∵BO=AO， ∴∠BAC=∠ABO, ∴∠BOC=∠BAO+∠ABO=2∠BAC ∴∠BAC=∠BOC, 证明 1°当点O在AC边上时 图(1) 合作探究 性质探究：圆周角定理的证明 圆周角 👉 求证：一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半. 如图，⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC=∠BOC. 证明 2°当点O在∠BAC内部时，作直径AD． 图(2) ∠BAＤ=_______,∠ＤAC=_______, ∴∠BAC=∠BAＤ＋∠ＤAC＝∠BOC D 由１°的结论可知 ∠BOＤ ∠ＤOC 合作探究 性质探究：圆周角定理的证明 圆周角 👉 求证：一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半. 如图，⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC=∠BOC. 证明 ３°当点O在∠BAC外部时，作直径AD． ∠BAＤ=_________,∠ＤAC=________, ∴∠BAC=∠BAＤ－∠ＤAC＝∠BOC 由１°的结论可知 D 图(3) ∠BOＤ ∠ＤOC 合作探究 性质探究：圆周角定理 圆周角 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于____________________. 通过观察、计算、猜想、证明，我们就可以得出结论—— 定理的应用格式： ∵∠BAC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角， ∴∠BAC=∠BOC. 该弧所对圆心角的一半 合作探究 性质探究：圆周角定理的推论 圆周角 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等. 思考 图中∠AEB、∠ACB、∠AFB的大小有何关系？ 推论的应用格式： ∵∠AEB,∠ACB,∠AFB都是所对的圆周角 ∴∠AEB=∠ACB=∠AFB. 分析 因为∠AEB,∠ACB,∠AFB都是所对的圆周角，所以它们都等于∠AOB的一半，所以它们都相等. 合作探究 圆周角定理的推论（2） 圆周角 思考 如图，在上题中若AB 为⊙O的直径，能求∠AEB,∠ACB,∠AFB的大小吗？ 分析 ∵AB是直径 ∴∠AOB=180°, ∴∠AEB=∠ACB=∠AFB=∠AOB=90°（圆周角定理） 推论2 直径（半圆）所对圆周角是______；90° 圆周角所对弦为_____. 推论2 的应用格式： ∵AB是直径,∴∠AEB=90°； ∵∠AEB=90°,∴AB是直径. 直角 直径 例题讲解 圆周角定理及其推论的应用 圆周角 例1 如图已知：⊙O的弦AB与弦CD相交于点E,且AC=DB. 求证：EB=EC. 证明 连接BC ∵AC=DB, ∴=( ) ∴∠ABC=∠DCB ( ) ∴EC=EB ( ) 弧、弦、圆心角关系定理 圆周角定理推论 等角对等边 例题讲解 圆周角定理及其推论的应用 圆周角 例2 如图，⊙O的直径AB的长为10,圆周角∠ACB的平分线交⊙O于点D，求弦AD、BD的长. 解析 ∵AB为直径 ∴∠ADB=90°. ∵CD平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD, ∴=. 在Rt△ABD中， ∵AB²=AD²+BD²,AB=10, ∴AD=BD=5. ∴AD=. 巩固练习 圆周角定理及其推论的应用 圆周角 1. 如图，已知：点A、B、C、D、E在⊙0上，CE平分∠ACB.求证：DE平分∠ADB. 证明∵CE平分∠ACB ∴∠ACE=∠BCE. ∵∠ACE=∠ADE,∠BCE=∠BDE ∴∠ADE=∠BDE ∴DE平分∠ADB. 巩固练习 圆周角定理及其推论的应用 圆周角 2. 如图，如图，已知：⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P=66°,=62°求∠APC的度数. 解析 连接AD ∵=66°,=62° ∴∠ADC=66°=33°,∠BAD=62°=31° ∴∠APD=∠ADC+∠BAD=64°. 归纳 一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半， 也等于这条弧的度数的一半. 巩固练习 圆周角定理及其推论的应用 圆周角 3. 如图，已知AB是⊙0的直径，AD平分∠BAC,BC平分∠ABD，AD与BC相交于点P. (1)求证：AC=BD；(2)求∠APB. 解析 (1)∵AD平分∠BAC,BC平分∠ABD ∴∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠ABC ∴= ∴AC=BD. (2)∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴， ∴， ∴∠APB=∠ADB+. 小结梳理 圆周角 考试链接 1.（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，∠BAC=25°，则∠ODB 的度数是（     ） A．25° B．40° C．50° D．65° B 圆周角 考试链接 2.（2025·陕西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，，∠BDC=24°，则∠ACD的度数为______． 66° 圆周角 作业布置 必做题：习题31.1 第6 题 圆周角 选做题：习题31.1 第10 题 沪教版九年级下册 谢谢观看！ $