2025年中考数学一轮复习考点通关课件：圆的基本性质

　圆的基本性质 圆的有关概念 定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．圆心确定圆的① ，半径确定圆的②____ 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦(如线段AD)；经过③ 的弦叫做直径(线段AB)，直径是圆中最长的弦 弧 1．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 2．大于半圆的弧叫做优弧(如)，小于半圆的弧叫做劣弧(如)； 3．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在④ 的角(如∠AOC) 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角(如∠ADC) 圆的有关性质 对称性 圆是轴对称图形，任何一条⑤ 所在直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心为⑥ . 旋转不变性 圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合 大小 圆的 相关 概念 及性 质 直径 圆心 圆心 位置 夯基础 知识梳理 圆心 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑪ ，所对的弦也⑫ . 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑬ ，所对的弦也⑭ ． (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑮ ，所对的优弧和劣弧分别⑯ ． 数学语言：如图，∠AOB＝∠COD⇔AB＝CD⇔ 相等 相等 相等 相等 相等 定理 垂直于弦的直径⑦ 弦，并且⑧ 弦所对的两条弧(2022年版课标调整为考查内容) 推论 平分弦(不是直径)的直径⑨ 于弦，并且⑩ 弦所对的两条弧 知二 推三 (1)；(2)；(3)AE＝EB；(4)AB⊥CD；(5)CD是☉O的直径． 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，由(3)(5)推其他结论时，一定要强调AB不是直径(因为一个圆中的直径总是互相平分的) 平分 垂直 平分 平分 垂径 定理 及其 推论 弦、弧、 圆心角 的关系 相等 1．圆内接四边形的对角㉑ ，即∠A＋∠BCD＝㉒ ， ∠B＋∠D＝㉓______ 2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角 (和它相邻的内角的对角)，即∠DCE＝㉔______ 　 ∠A 　 180° 180° 圆内接四 边形的性 质(如图) 互补 圆周角定理及 其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑰______ 常见图形 结论 ∠APBAOB 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角⑱ ．(2022年版课标新增) (2)半圆(或直径)所对的圆周角是⑲ ，90°的圆周角所对的弦是⑳________ 直径 直角 相等 一半 已知☉O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E． (1)如图①，直径CF交线段BE于点G，连接DF，求证： 重点 固考点 重难突破 例1 垂径定理与圆周角定理 图① 【解答】如答图①，连接AF． ∵CF是☉O的直径， ∴∠CDF＝90°． ∵AB⊥CD，∴∠BED＝90°， ∴∠BED＋∠CDF＝180°， ∴AB∥DF， ∴∠BAF＝∠AFD， 答图① 图②　 (2)如图②，直径CF交线段BE于点G，连接BC．若，则∠ABC＝ °． 45 (3)如图③，直径CF交线段BE于点G，连接BF．若E为AG的中点，求证：△BGF是等腰三角形． 图③ 【解答】如答图②，连接AC． ∵AB⊥CD，E为AG的中点， ∴CD为线段AG的垂直平分线， ∴AC＝CG，∴∠CAE＝∠CGE． ∵∠BGF＝∠CGE，∠BFG＝∠CAE， ∴∠BGF＝∠BFG， ∴△BGF是等腰三角形． 答图② (4)如图④，AB是☉O的直径，F是上一点，连接CF，DF．若AE＝1，CD＝4，则sin F的值为______. 图④ 【解答】如答图③，连接AC，OC． ∵D为的中点，，∴∠ACD＝∠FCD． 在△ACE和△GCE中， ∴△ACE≌△GCE(ASA)，∴AE＝GE． 设AE＝GE＝x，则OE＝1＋x，OC＝OA＝1＋2x． ∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝DE＝4． 在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE2＋CE2＝OC2， 即(1＋x)2＋42＝(1＋2x)2，解得x＝2(负值已舍去)， ∴OC＝1＋2x＝5，即☉O的半径为5． (5)如图⑤，AB为☉O的直径，弦CF交线段BE于点G．若D为的中点，CD＝8，OG＝1，求☉O的半径． 图⑤ 答图③ 【错解步骤】上述解答过程是从第 步开始出现错误的． 【错误原因】 ． 忽略了弦BC所对应的优弧的圆周角度数(意思表达正确即可) 答图 五 【错解过程】 　在☉O中，若弦BC垂直平分半径OA，求弦BC所对的圆周角的度数． 解：如答图，连接OB，OC，记OA与BC的交点为D． ∵弦BC垂直平分半径OA， ∴∠ODB＝∠ODC＝90°，∠BOA＝∠COA，OD＝DAOAOB，…第一步 ∴∠OBD＝30°，…………………………………………第二步 ∴∠BOD＝60°，…………………………………………第三步 ∴∠BOC＝120°，…………………………………………第四步 ∴弦BC所对的圆周角的度数为60°．……………………第五步 易错点 忽略一条弦所对的圆周角有两种情况导致错误 例2 如答图，连接OB，OC，记OA与BC的交点为D． ∵弦BC垂直平分半径OA， ∴∠ODB＝∠ODC＝90°，∠BOA＝∠COA，OD＝DAOAOB， ∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°． 当弦BC所对的圆周角的顶点在优弧BC上时，弦BC所对的圆周角的度数为BOC＝60°； 当弦BC所对的圆周角的顶点在劣弧BC上时，弦BC所对的圆周角的度数为(360°－∠BOC)＝120°． 综上所述，弦BC所对的圆周角的度数为60°或120°． 答图 【正确解答】 【名师点评】在题目未明确指出是求优弧所对应的圆周角，还是劣弧所对应的圆周角时，应两种情况都考虑． 垂径定理及其应用 1．(2023·凉山11题4分)如图，在☉O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝( ) A．1 B．2 C．2 D．4 B 明方向 中考再现 命题点1 2．(2024·凉山10题4分)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝ 40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为( ) A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm C 【解析】设圆形工件的圆心为O，则点O在直线CD上，连接OB，如答图.∵CD垂直平分AB，AB＝40 cm，∴∠ODB＝90°，BD＝20 cm. ∵CD＝10 cm，OC＝OB，∴OD＝OC－CD＝(OB－10)cm.在Rt△ODB中，∵∠ODB＝90°，∴OD2＋BD2＝OB2，∴(OB－10)2＋202＝OB2，解得OB＝25，即圆形工件的半径为25 cm.故选C. 答图 3．(2023·南充13题4分)如图，AB是☉O的直径，D，M分别是弦AC，的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ． 4 4．(2024·南充13题4分)如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ °． 圆周角定理及其推论 75 命题点2 5．(2023·成都17题10分)如图，以△ABC的边AC为直径作☉O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交☉O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE． (1)求证：AC＝BC． 证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠B＝∠ADE， ∴∠B＝∠ACE． ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC． (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 答图 解：如答图，连接AE．∵∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°， ∴在Rt△ADB中，tan B2，∴AD＝2BD． 由(1)可知，AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3． ∵在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2， 解得BD＝2或BD＝0(舍去)，∴BC＝2＋3＝5，AD＝2BD＝4， ∴在Rt△ADB中，AB2 ，，∴DE＝2 6．(2024·巴中16题3分)如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 ． 圆内接四边形 60° 命题点3 【解析】∵四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形ABCO为菱形， ∴∠B＝∠AOC.又∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠B＝2∠ADC，∴2∠ADC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝60°. $$