2025年中考数学一轮复习考点通关课件：与圆有关的位置关系

　与圆有关的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 图示 d与r的关系 d③ r d④ r d⑤ r 公共点的个数 2 1 0 > ＝ < 点的位置 图示 d与r的关系 点A在圆外 d>r 点B在圆上 d① r 点C在圆内 d② r < ＝ 夯基础 知识梳理 点与圆的位置关系(设☉O的半径为r，点到圆心O的距离为d) 直线与圆的位置关系(设☉O的半径为r， 圆心O到直线l的距离为d) 性质 圆的切线⑥ 过切点的半径   判定 定义法：与圆只有⑦ 公共点的直线是圆的切线 判定定理法：经过⑧ 的外端并且⑨ 这条半径的直线是圆的切线 有公共点，连半径，证垂直 距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 无公共点，作垂直，证相等 垂直于 半径 一个 垂直于 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角 切线 的性 质与 判定 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 定义 经过三角形三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 图示 圆心 三角形三条边的⑩___________ 的交点，叫做这个三角形的外心 三角形三条⑪ 的交点，叫做这个三角形的内心 性质 三角形的外心到三角形的 ⑫ 的距离相等 三角形的内心到三角形的 ⑬ 的距离相等 角度关系 ∠BOC＝2∠A，∠BOC＝360°－2∠A' ∠BOCA＋90° 三条边 角平分线 三个顶点 垂直平分线 三角形的外接 圆和内切圆 　 已知△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，以AB为直径的☉O交AC于点E，D为BC的中点，连接DE． (1)(一题多证)如图①，求证：DE与☉O相切． 重点1 固考点 重难突破 例1 切线的性质与判定 图① 答图① 【解答】方法一：如答图①，连接OD，OE． ∵O是AB的中点，D为BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC， ∴∠BOD＝∠OAE，∠EOD＝∠OEA． ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠BOD＝∠EOD． 又∵OB＝OE，OD＝OD， ∴△BOD≌△EOD(SAS)， ∴∠OBD＝∠OED＝90°． ∵OE为☉O的半径，∴DE与☉O相切． 答图② 方法二：如答图②，连接OD，OE，BE. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°. 又∵D为BC的中点，∴DE＝DB＝DC. 又∵OB＝OE，OD＝OD， ∴△BOD≌△EOD(SSS)， ∴∠OBD＝∠OED＝90°. ∵OE为☉O的半径， ∴DE与☉O相切. 答图③ 方法三：如答图③，连接OE，BE. ∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°. ∵D为BC的中点，∴DE＝DC＝BC， ∴∠DEC＝∠C. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠OEA＋∠DEC＝90°，∴∠OED＝90°. ∵OE为☉O的半径，∴DE与☉O相切. (3)如图③，若☉O的半径为2，DE＝6，则AE的长为______. ③ ② (2)如图②，连接OE．若∠C的度数为30°，则∠BOE的度数为 ． 120° 2 (4)如图④，连接OE，OC，OC交DE于点F．若OF＝FC，求证：△ABC是等腰直角三角形． 图④ 【解答】∵OF＝FC，∴F为OC的中点. ∵D为BC的中点， ∴FD是△OBC的中位线，∴DF∥OB. 又∵∠ABC＝90°，∴∠BDE＝90°. 由(1)可知，∠OED＝90°， ∴四边形OBDE是矩形，∴∠BOE＝90°， ∴∠A＝∠BOE＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形. 【解答】如答图④，连接OD，BE，则易得∠BEC＝90°，DEBC＝4，∴BC＝8． ∵AB＝2OE＝6，∴在Rt△ABC中，AC10． ∵∠ABC＝∠BEC＝90°，∠ACB＝∠BCE， ∴△ABC∽△BEC，，∴EC ∵O是AB的中点，D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，ODAC＝5， ∴∠FDO＝∠FEC，∠FOD＝∠FCE， ∴△ODF∽△CEF， (5)如图⑤，连接OE，OC，OC交DE于点F．若OE＝3，DE＝4，求的值． 图⑤ 答图④ 　 (2024·乐山模拟改编)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，CD平分∠ACB．若AD＝3，BC，则AC的长为( ) A．3　　　　　　B．3 C．4 D．3 三角形的外接圆 C 重点2 例2 针对训练 如图，点A，O在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长均为1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使点O为△ABC的外心，则BC的长是_______. 3 切线的性质与判定 1．(2023·眉山10题4分)如图，AB切☉O于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD．若∠OCD＝25°，则∠A的度数为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．25° B．35° C．40° D．45° C 明方向 中考再现 命题点1 2．(2023·泸州11题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是( ) A B C D B 3．(2024·凉山24题5分)如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为______. 2 【解析】如答图，连接MP，MQ.∵PQ是☉M的切线，∴MQ⊥PQ，∴在 Rt△PMQ中，PQ＝＝，∴当PM最小时，PQ最小.易知当MP⊥AB时，MP最小，直线y＝x＋4与x轴的交点A的坐标为(－4，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，4)，∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝45°， AM＝8.当MP⊥AB时，MP＝AM·sin∠BAM＝8× ＝4，∴PQ的最小值为＝2. 答图 4．(2024·南充22题10分)如图，在☉O中，AB是直径，AE是弦，F是上一点，，AE，BF相交于点C，D为BF的延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． (1)求证：AD是☉O的切线． 证明：， ∴∠ABF＝∠BAE． ∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD＋∠BAE＋∠CAD＋∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°，即AD⊥OA． ∵OA是☉O的半径，∴AD是☉O的切线． (2)若BE＝4，AD＝2，求☉O的半径长． 解：如答图，连接AF.∵，BE＝4，∴AF＝BE＝4. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∴在Rt△ADF中，DF＝＝2. ∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴＝tan D＝＝2， ∴AD＝AB，∴OA＝AB＝AD＝2， ∴☉O的半径为2. 答图 5．(2024·凉山27题10分)如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． (1)求证：EF是☉O的切线． 证明：如答图，连接OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠OAD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE． 又∵OD是☉O的半径，∴EF是☉O的切线． 答图 (2)连接EO并延长，分别交☉O于点M，N，交AD于点G．若☉O的半径为2，∠F＝30°，求GM·GN的值． 解：如答图，连接MD，AN. 由(1)知OD⊥EF，∴∠ODF＝90°. ∵在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°， ∴OD＝OF，∠BOD＝60°，∴OF＝4， ∴DF＝＝2，∴AF＝2＋4＝6. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. 答图 ∵在Rt△AEF中，∠F＝30°，∴AE＝AF＝3. ∵∠DOF＝60°，∴∠OAD＋∠ODA＝60°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝30°＝∠F， ∴AD＝DF＝2. ∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE，∴， ∴DG＝AD，AG＝AD. ∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，∴△MGD∽△AGN，∴， ∴GM·GN＝GD·GA＝AD·AD＝AD2＝×(2)2＝. 6．(2022·南充22题10分)如图，AB为☉O的直径，C是☉O上一点，D是☉O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E． (1)求证：CD是☉O的切线． 证明：如答图，连接OC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠B＝90°． ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B． ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＋∠OCB＝90°，∴OC⊥CD． 又∵OC为☉O的半径， ∴CD是☉O的切线． 答图 (2)若CE＝OA，sin∠BAC，求tan∠CEO的值． 答图 解：如答图，过点O作OH⊥BC于点H． 易知在Rt△ABC中，sin∠BAC， ∴设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝OB＝CEk． ∵OH⊥BC，OC＝OB，∴CH＝BH＝2k． ∵在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2，∴AC3k． 易知∠ACB＝90°＝∠OHB，∴AC∥OH． ∵O为AB的中点，∴OH为△ABC的中位线， ∴OHACk，∴EH＝CE－CHk－2kk， ∴在Rt△OHE中，tan∠CEO3． 7．(2024·泸州9题3分)如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上．若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( ) A．56° B．60° C．68° D．70° 切线长定理 C 命题点2 【解析】如答图，连接AD.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.∵∠BAE＋∠BCD＝236°，∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°，∴∠EAD＝56°.∵EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°，∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝180°－56°－56°＝68°.故选C. 答图 三角形的外接圆 8．(2023·巴中8题4分)如图，☉O是△ABC的外接圆．若∠C＝25°，则∠BAO＝( )   A．25° B．50° C．60° D．65° D 命题点3 9．(2022·凉山24题5分)如图，在边长为1的正方形网格中，☉O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________. 10．(2024·眉山18题4分)如图，△ABC内接于☉O，点O在AB上，AD平分∠BAC交☉O于点D，连接BD．若AB＝10，BD＝2，则BC的长 为 ． 8 【解析】如答图，延长AC，BD相交于点E.∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝∠BCE＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD.又∵AD＝AD，∴△BAD≌△EAD(ASA)，∴BD＝ED＝2，∴BE＝4.∵AB＝10，BD＝2， ∴在Rt△ABD中，AD＝＝4. ∵∠BAD＝∠DAC＝∠CBD，∠ADB＝∠BCE＝90°， ∴△ABD∽△BEC，∴，∴，∴BC＝8. 答图 $$