7.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 1.什么是古典概型？ (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 2.古典概型的计算公式是什么？ 温故知新—— 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 条件概率的理解 问题1：某个家庭有2个孩子，问： （1）两个孩子都是女孩的概率？ （2）如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？ （1）设A=“有1个孩子是女孩”, B=“2个孩子都是女孩”. 所以 （2）“如果有1个孩子是女孩，两个孩子都是女孩”的概率。 思考1：在上面两个问题中，为什么（1）和（2）的结果不同呢？ 因为样本空间发生改变，已知事件的发生缩小了样本空间. 思考3：结合问题，你能归纳出条件概率的计算公式吗？ 追问：这个结论对于一般的古典概型是否仍然成立？ 成立! 分析 求 的一般思想： 思考4： 与 有什么区别和联系？ 因为已经知道事件A必然发生，所以只需在A发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A. 因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生. 所以事件A发生的条件下，事件B发生的概率. 知识梳理 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 . 条件概率 注意点： A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B). 例1　判断下列几种概率哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率. (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率. (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率. 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是. 反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. 跟踪训练1　下面几种概率是条件概率的是 A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，则小明在一次上 学中遇到红灯的概率 √ 由条件概率的定义知B为条件概率. 利用定义求条件概率 例2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 延伸探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A， “第2次抽到语言类节目”为事件C， 则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝ ，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 跟踪训练2　(1)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为________. 0.08 (2)在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率 为______. 设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”， 缩小样本空间求条件概率 例3　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 延伸探究　1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率. 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝ 2.若甲先取(放回)，乙后取，设事件A＝“甲抽到的数大于4”，事件B＝“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)， (6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5,2)，(6,1)，共2个，所以P(B|A)＝ 反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点. (3)算：利用P(B|A)＝ 求得结果. 跟踪训练3　(1)在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的条件下，第二次取到“r”的概率为 在第一次取到“a”的条件下，还剩余9个字母，其中“r”有4个，故所求概率为 √ (2)袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为 √ 设1个红色球为a，2个蓝色球为b，c，2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有 (b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个， 其中“另一个是红色球或黑色球”有6个， 随堂演练 1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于 事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)， 故n(M)＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)，故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝ √ 2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 1 2 3 4 √ 设某天的空气质量为优良为事件A，随后一天的空气质量为优良为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所以P(B|A)＝ 3.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是 √ 男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B， 4.一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为_____. 取出2个球，记事件A＝“其中一个球是白球”， 取出2个球，记事件B＝“另一个球也是白球”， $$