2025年中考数学专题训练——反比例函数与一次函数综合

2025年人教版九年级数学中考专题训练—— 反比例函数与一次函数综合 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点． (1)求反比例函数解析式； (2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 3．已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的面积等于3，求出点的横坐标的值． 4．如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式． 5．如图，已知A（－3，）、B（2，－3）是一次函数的图象和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)根据图象：直接写出使得 成立时，的取值范围； 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C． （1）求k的值及点C的坐标； （2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴正半轴上，且，求点的坐标； 10．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 11．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．    （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？ 12．如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△ABC的面积． 13．如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D为反比例函数图像第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3 (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年人教版九年级数学中考专题训练——反比例函数与一次函数综合》参考答案 1．(1) (2)或 【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A 把代入得 ∴ ∴ 把代入反比例函数得 ∴ ∴反比例函数的解析式是； （2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为， ∵，B在反比例函数图象上， ∴B(2，2), 令D(m,n)， 以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当AB为一条对角线时，则， 解得m=1，n=6， ∴D(1,6) 当AC为一条对角线时，则， 解得m=1，n=2， ∴D(1,2) 当AD为一条对角线时，则， 解得m=3，n=-2， ∴D(3,-2)（舍去） 综上所述，点D的坐标是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标． 2．（1）；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 3．(1) (2)①；② 【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式即可求解； （2）①根据题意可求点P的纵坐标为，由轴，可得点的纵坐标为，由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求的长，利用三角形面积公式，即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，即． （2）解：①∵在直线上且横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在函数的图象上， ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． ②∵，， ∴， ∵中边上的高， ∴， ∵的面积等于3， ∴， ∴（舍），， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键． 4．（1）A（－1，0），B（0，1），D（1，0） （2）一次函数的解析式为 反比例函数的解析式为 【分析】（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标； （2）将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入可确定反比例函数的解析式． 【详解】解：（1）∵OA=OB=OD=1， ∴点A、B、D的坐标分别为A（－1，0），B（0，1），D（1，0）． （2）∵点A、B在一次函数（k≠0）的图象上， ∴，解得． ∴一次函数的解析式为． ∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，∴点C的坐标为（1，2）． 又∵点C在反比例函数（m≠0）的图象上，∴m=1×2=2． ∴反比例函数的解析式为． 5．(1)y=-x-1， (2) (3)-3＜x＜0或x＞2 【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案； （3）根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案． 【详解】（1）∵点B（2，-3）在函数的图象上， ∴    ∴m=6． ∴反比例函数的解析式为： ∵点A（-3，n）在函数的图象上， ∴ ∴=2 ∴点A（-3，2）， ∵函数y=kx+b经过点A（-3，2），B（2，-3）， ∴解得： ∴一次函数的解析式为：y=-x-1． （2）∵设点C是直线AB与x轴的交点， ∴当y=0时，x=-1． ∴点C（-1，0）， ∴OC=1． ∴S△AOB=S△ACO+SBCO=OC•n+OC×3=×1×2+×1×3= （3）使得成立时，x的取值范围为：-3＜x＜0或x＞2； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式． 6．（1）k=12，C（0，9）；（2）4 【分析】（1）由点求出反比例函数的解析式为，可得值，进而求得，由待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点的坐标； （2）由（1）求出，根据可求得结论． 【详解】解：（1）把点代入，， 反比例函数的解析式为， 将点向右平移2个单位， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， ， 当时，， ； （2）由（1）知， ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线的解析式是解题的关键． 7．（1）；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质及等腰直角三角形得到OD=AD，即可求出A点坐标，故可求出反比例函数解析式；（2）过点作垂足为，先求出点坐标， 再求出点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，根据待定系数法确定直线AB1的关系式，再求出与y轴的交点即为所求. 【详解】解：（1）∵是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵ ∴，即 把点 代入的得， ∴反比例函数的解析式为：． 答：反比例函数的解析式为：． （2）过点作垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小， 设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，    解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点 答：点的坐标为． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性. 8．(1)， (2)或 【分析】（1）根据点C的坐标及点点的横坐标，可求得CD的长和点B的纵坐标，进而可求得AC的长，利用勾股定理即可求得AD，进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式． （2）变形不等式为，即，根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可求解． 【详解】（1）解：∵，且点的横坐标为1， ∴，且， ， 在中， ， ， 点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为：， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 将和代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）由题意得， ，即，即， 只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可， 由图可得当或时，， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式及根据图象及性质解决问题、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，巧妙借助数形结合思想解决问题是解题的关键． 9．(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为： (2) 【分析】（1）把点代入反比例函数，求出；再把点代入反比例函数，求出；再把点，点代入一次函数，即可； （2）点在轴正半轴上，设点，，即，根据点在一次函数且与轴相交，求出点的坐标；进而表示出，根据，求出的值，问题随之得解． 【详解】（1）∵点在比例函数上， ∴， ∴， ∴； ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴点， ∵点，点经过一次函数， ∴， 解得：， ∴． ∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）如图，点在轴正半轴上，所示： 设点，，即， ∵点在一次函数且与轴相交， 当时，， ∴点，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合知识，待定系数法求解一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性质． 10．（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 11．（1）一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数的解析式为y=﹣； （2）当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 【详解】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案． 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（，0）和A（﹣2，1）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3， 反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣； （2），解得，或， ∴B（，﹣4） 由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 12．（1）A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）； （2）S△ABC=8． 【详解】试题分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标； （2）先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算． 试题解析：（1）根据题意得，解方程组得或， 所以A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）； （2）把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2， 所以D点坐标为（2，0）， 因为C、D两点关于y轴对称， 所以C点坐标为（﹣2，0）， 所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=×（2+2）×3+×（2+2）×1=8． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 13．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法确定一次函数关系式，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用待定系数法确定反比例函数关系式即可得到结论； （2）设点C的坐标为，由于轴，得到点D的坐标，表示出，根据二次函数性质即可得出的面积的最大值． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴一次函数的解析式为， 把点B（1，m）代入，得， ∴点B的坐标为（1，8）， 把点B（1，8）代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设点C的坐标为， 由于轴，所以点D的纵坐标为， ∴点， ， ∴当时，， 答：的最大值为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键． 14．(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为． (2)或 (3) 【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值． （2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可． （3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ， 结合图形，可得， 将代入得， 反比例函数的表达式为． 把代入反比例函数得， ， 将和代入解得：，， 一次函数表达式为． （2）由图象可以看出的解集为或． （3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大． ， ， 设直线的关系式为，将，代入， 解得，， 直线的关系式为， 当时，解得， ． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$