6.2.1～6.2.2 第1课时 排列与排列数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.1-6.2.2 第1课时 排列与排列数 学习目标 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.(数学抽象) 2.理解排列数公式的推导并应用.(逻辑推理) 3.掌握排列数公式并会运用.(数学运算) 思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？ 第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法. 第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 根据乘法计数原理，不同的选法种数为 N=3×2=6种. “分步” 下午 相应的选法 上午 甲 丙 乙 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 乙 丙 甲 丙 甲 乙 探究新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 第1步：确定百位上的数字, 从1, 2, 3, 4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步：确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的3个数字中去取, 有3种方法； 第3步：确定个位上的数字, 当百位、十位上的数字确定后, 个位的数字只能从余下的2个数字中去取, 有2种方法. 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 探究新知 思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？ “分步” 根据乘法计数原理，不同的选法种数为N=4×3×2=24 ４种 ３种 ２种 百位： 十位： 个位： 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 探究新知 树状图如下图所示： 由此可写出所有的三位数： 123, 124, 132, 134, 142, 143; 213, 214, 231, 234, 241, 243; 312, 314, 321, 324, 341, 342; 412, 413, 421, 423, 431, 432. 实质是: 从3个不同的元素中,任取2个, 按一定的顺序排成一列, 有哪些不同的排法. 实质是: 从4个不同的元素中, 任取3个, 按照一定的顺序排成一列, 写出所有不同的排法. 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 上述问题1，问题2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ ？ 思考 探究新知 一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 注意： 1.元素不能重复. 2.“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键. 3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同. 4.m＜n时的排列叫选排列, m＝n时的排列叫全排列。 5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树状图”. （有序性） （互异性） 排列的定义： 概念形成 1.判断下列问题是排列问题吗？ (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ (2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ (5) 10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ (6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组. (7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目. （从中归纳这几类问题的区别） 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 小试牛刀 是排列 不是排列 （1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个不同的元素，否则不是排列问题。 （2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列. 而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 排列问题的判断方法： 方法归纳 解：可以先从这6支队中选1支为主队， 然后从剩下的5支队中选1支为客队按分步乘法计数原理， 每组进行的比赛场数为6×5=30. 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列. 典例分析 课本P16--例1 题型一 排列问题判断与计算 例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 典例分析 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列. 思考：这两个问题的区别在哪里？ 课本P16--例2 题型一 排列问题判断与计算 解： (1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：5×4×3=60. (2)可以先让同学甲从5种菜中选1种；有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为：5×5×5=125. 例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 典例分析 课本P16--例2 题型一 排列问题判断与计算 排列数的定义和表示： 我们把从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示. 探究新知 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 . 已经算得 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 . 已经算得 排列数与排列的区别： 一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数. 　　从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少？ ？ 探究 探究新知 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 追问1: 如何求排列数 ？ 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-2)种 追问2: 如何求排列数 ？ 假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数 . 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-(m-1))种 第m位 (n-2)种 ...... 探究新知 利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式: 一般地，求排列数 可以按依次填m个空位来考虑： 排列数公式 的连乘形式 (1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？ (2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？ (3)利用排列数公式，计算 . ？ 思考 探究新知 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个 全排列. 这时，排列数公式中m=n，即有 将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n! 表示. 于是，n个元素的全排列数公式可以写成 . 我们规定，0!=1. 解：根据排列数公式，可得： 典例分析 例3 计算： × 课本P19--例3 题型二 排列数的计算 由例3可以看到， , 观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？ ？ 思考 排列数公式 的阶乘形式 排列数公式 的连乘形式 探究新知 × = 常用于计算 常用于化简、证明、解方程 跟踪训练3　(1)不等式 的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8} √ 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 由①②及x∈N*，得x＝8. 题型二 排列数的计算 (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2). 化简得4x2－35x＋69＝0， 所以原方程的解为x＝3. 跟踪训练3 题型二 排列数的计算 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法. 百位 十位 个位 典例分析 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为: 课本P19--例4 题型三 简单的排列问题 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位, 有 种取法. 第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位, 有 种取法； 第1类, 每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 种取法； 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典例分析 课本P19--例4 题型三 简单的排列问题 解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 即所求三位数的个数为 它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数 其中0在百位上的排列数为 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典例分析 课本P19--例4 题型三 简单的排列问题 带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则 直接法 间接法 位置分析法 元素分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 以元素为主，优先考虑特殊元素 先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数 方法归纳 分步 先分类 后分步 跟踪训练4　已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 √ 题型三 简单的排列问题 证： 例5 证明: (1) ； (2) . 典例分析 (1) (2) 排列数的性质 变式练习：1.证明： . 证明： 1.(多选)下列问题中是排列问题的是 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 √ 由排列的定义知AD是排列问题. √ 当堂检测 A.480 B.520 C.600 D.1 320 √ 当堂检测 3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 A.3 B.24 C.34 D.43 √ 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 当堂检测 多选少：从4本书选3本书给3个同学 4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种. (用数字作答) 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法. 36 当堂检测 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 2.排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求. 课堂小结 把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示. 2. 排列数公式： 1. 排列数的定义和表示： 3. n个元素的全排列数公式： 0!=1 4. 求解排列问题的方法： 课堂小结 (1)直接法：①位置分析法，②元素分析法 (2)间接法 $$