3.1.3 课时2 组合数的应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

3.1.3 课时2 组合数的应用 第三章 排列、组合与二项式定理 作者编号：、32200 1.能够运用排列、组合知识解决相关问题. 学习目标 作者编号：、32200 一、有限制条件的组合问题 例1 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 新课导入 作者编号：、32200 课题探究 作者编号：、32200 课题探究 作者编号：、32200 常见的限制条件及解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 二、不同元素的分组、分配问题 例2 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法? (1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本; (2)甲、乙、丙3人中，1人得1本，1人得2本，1人得3本; (3)平均分成3份，每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本; (5)分成3份，1份4本，另外2份每份1本; 无序不均匀分组问题 有序不均匀分组问题 无序均匀分组问题 有序均匀分组问题 无序部分均匀分组问题 课题探究 作者编号：、32200 解：(1)首先选1本，有 种方法，然后从余下的5本中选2本，有种方法，最后余下3本全选，有种方法， 故共有 (种)分配方法. (2)因为甲、乙、丙是不同的3人，所以在第(1)问的基础上再分配给3人， 故共有 (种)分配方法. (3)先分三步，则应有 种方法， 但出现了三个位置上的重复，故共有 (种)分配方法. (4)第(3)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法. (5)先分三步，则应有 种方法， 但出现了两个位置上的重复，故共有 (种)分配方法. 作者编号：、32200 (6)甲、乙、丙3人中，1人得4本，另外2人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本; (8)甲、乙、丙3人中，每人至少得1本. (6)第 (5)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法. (7)甲选1本，有种方法，乙从余下的5本中选1本，有 种方法， 最后余下4本留给丙，有种方法， 故共有 (种)分配方法. (8)每人至少得1本，可以有，， 三种情况， 即中的三种情况，故共有 (种)分配方法. 有序部分均匀分组问题 直接分配问题 作者编号：、32200 1.分配问题有两类，一是将物直接分配给人，即直接分配问题；二是先分组再将组分配给人，即间接分配. (1)直接分配问题主要是明确分配的数量，即具体到具体人的数量，例如甲得2本书，乙得3本书，此类问题主要是应用组合知识进行直接求解. (2)间接分配问题一般是未明确分配的数量，即不知道具体分配的数量，例如甲、乙、丙其中1人得一本书，1人得2本书，1人得3本书，此类问题一般是先分组再将组全排列分配给人. 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 2.分组问题分为平均分、部分平均分、均未平均分三类题型. 平均分就是明确数量问题，直接应用组合即可解决； 部分平均分若有个组平均分，则需除以 !； 若均未平均分，则不需要除以任何数值，即为组合数即可. 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 三、相同元素的分组、分配问题 例3 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中. (1)若每个盒子至少有一个球，则一共有多少种放法？ (2)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 解：(1)把20个球摆好，在中间的19个空隙中选择4个放入隔板， 所以共有 (种)放法. (2)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球， 再保证余下的10个球每个盒子至少放1个，把10个球摆好， 在中间9个空隙中选择4个放入隔板，所以共有 （种）放法. 隔板法 课题探究 作者编号：、32200 方法归纳 应用隔板法常用的条件是： 一是解决相同元素的分配问题； 二是可以转化为“至少有一个”的问题. 课题探究 作者编号：、32200 四、排列、组合的综合应用 例4 某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名学生均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 . 解析：若甲、乙相同的参赛项目为径赛类项目，则有 (种)选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个(互不相同)，有 (种)选法， 此时满足题意的选法有 (种). 若甲、乙相同的参赛项目为田赛类项目，则有· (种)选法， 综上所述甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 . 140 课题探究 作者编号：、32200 任务：回答下列问题，巩固本课知识. 1.不同元素的分配问题的解题思路是什么？ 2.隔板法解题一般用于什么情况？ 课后小结 作者编号：、32200 1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种　 B.90种　 C.60种　 D.30种 2.四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答）. C 36 当堂检测 作者编号：、32200 3.“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为 ，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，则含有“ ”这个字母组合（相邻且顺序不变）的不同排法共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10 B 当堂检测 作者编号：、32200 $$