精品解析：浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷

鹿城区2024学年第一学期九年级（上）学业水平期末检测 数学试题 温馨提醒： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ） A B. C. D. 2. 抛物线与轴的交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A B. C. D. 10. 点在二次函数（m为常数）图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 4 D. 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为________． 12. 将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为________． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为________．（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0950 0.950 14. 如图，四边形内接于，，，则的度数为________． 15. 二次函数的图象过点，其部分图象如图所示，则关于x的方程的正数解为________． 16. 如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）求比例式中的． 18. 现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张． （1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． （2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 19. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 20. 综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 21. 尺规作图问题：作一个顶角为的圆内接等腰三角形． 以下是小鹿的作图过程，他分两步完成，如图所示： 第一步：以上一点A为圆心，长为半径作弧，交于点B，连接，． 第二步：分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作圆弧交于内一点P，连接并延长交点C，连接，． 则即为所求的三角形． 请根据小鹿的作图过程回答以下问题： （1）求的度数． （2）求证：是顶角为的等腰三角形． 22. 如图，中，，于点D，过点A作的平行线，交延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 设抛物线与直线交于点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴． （2）设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 24. 如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记． 【认识图形】求证：． 【探索关系】求证：． 问题解决】若点与点关于对称 ①当时，求k的值． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹿城区2024学年第一学期九年级（上）学业水平期末检测 数学试题 温馨提醒： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 即的长可能是． 故选：D． 2. 抛物线与轴的交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用函数解析式求得对应y的值即可求得答案． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键． 3. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 4. 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 5. 如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度．根据正五角形的对称性，用除以 5 计算即可得解． 【详解】， ∴旋转的角度角度至少． 故选B． 6. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵B点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 7. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长公式代入计算即可． 【详解】根据弧长公式， 可得的长度为． 故选：B 8. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ．   故选： D． 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧的关键，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ， ， ， 故选：C． 10. 点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可． 【详解】解：设， 故答案为． 12. 将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 直接利用二次函数图象平移规律：上加下减进而得出答案． 【详解】将抛物线向上平移3个单位后，得到新的抛物线， 新的抛物线的表达式是：． 故答案为：． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为________．（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950 【答案】0.95 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率－所求情况数与总情况数之比． 【详解】观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．故选C． 14. 如图，四边形内接于，，，则的度数为________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 15. 二次函数的图象过点，其部分图象如图所示，则关于x的方程的正数解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与性质，解题的关键是求出二次函数图象与直线的交点坐标． 首先求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：， 二次函数的图象的对称轴为直线， 二次函数的图象经过点， 二次函数的图象经过， 方程的解为二次函数与直线交点的横坐标， ∴方程解为，， ∴方程的正数解为． 故答案是：． 16. 如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，正方形及矩形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长交于点F，根据正方形及矩形的性质得出，设正方形的边长为x，由相似三角形的判定和性质得出，，结合性质求解即可． 详解】解：延长交于点F，如图所示： 根据题意得：四边形为矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 解得：， ∵A，P，M三点恰好在同一直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）求比例式中的． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，比例式的计算，掌握特殊角的三角函数值和比例式的计算是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案； （2）把比例式转化为方程，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2） ． 18. 现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张． （1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． （2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）直接根据题意列表即可； （2）由表格可得：共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，再根据概率公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：列表如下： 【小问2详解】 解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种， 小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ． 19. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：在中， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ． ． 20. 综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【答案】任务1：；任务2：20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设．根据题意得到，再利用待定系数法求解，即可解题； 任务2：利用顶点纵坐标为求解，即可解题． 【详解】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ． 任务2：由可知，拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 21. 尺规作图问题：作一个顶角为的圆内接等腰三角形． 以下是小鹿的作图过程，他分两步完成，如图所示： 第一步：以上一点A为圆心，长为半径作弧，交于点B，连接，． 第二步：分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作圆弧交于内一点P，连接并延长交点C，连接，． 则即为所求的三角形． 请根据小鹿的作图过程回答以下问题： （1）求的度数． （2）求证：是顶角为的等腰三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图过程得到，进而证明为等边三角形即可求解； （2）连接，，根据作图过程和线段垂直平分线的判定得到垂直平分，则，再根据圆周角定理求得，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由作图过程可得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，， 由作图过程可得：， 又∵， ∴点P，O在的中垂线上． 即垂直平分． ∴． 又∵， ∴是顶角为的等腰三角形． 【点睛】本题考查了基本作图、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，理解作图过程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 如图，中，，于点D，过点A作的平行线，交延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得，等角的余角相等得，即可得结论； （2）根据相似三角形的性质得，根据已知条件即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， 即， ∴， 中，， ∴． 23. 设抛物线与直线交于点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴． （2）设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线为，对称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先得出点A的坐标，然后再利用待定系数法求二次函数解析式，进而可得对称轴； （2）①由题意易得点B、C关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解；②根据①可知当时，则有，当当时，则，然后根据点B、D、C在直线上，且，所以，可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①∵点是抛物线上两点，且， ∴点B、C关于对称轴对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以， 由①可知当时，则有， 联立二次函数与直线可得：， 解得：或， ∴二次函数与直线的另一个交点坐标为， ∴当时，则， ∴要使，则的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 24. 如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记． 【认识图形】求证：． 【探索关系】求证：． 【问题解决】若点与点关于对称 ①当时，求k的值． ②求的最大值． 【答案】【认识图形】见解析；【探索关系】见解析；【问题解决】①；② 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题； [认识图形]根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等即可得证； [探索关系]根据同弧所对的圆周角相等可得，结合，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； [问题解决]①连结，设，．证明．根据相似三角形的性质，得出，进而求得的值； ②设个单位，个单位，由①同理可得：即．进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：[认识图形]， ． 在内，， ． [探索关系]在内，，且， ． ∴，即． [问题解决]①连结，设，． 点，关于对称， ，． ， ． ，即． ． ，， ． 即． ． ． ②设个单位，个单位 由①同理可得：即． ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$