第五章 一元函数的导数及其应用 单元复习课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用 函数y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率： 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,记作 1.f '(x0)与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同； 2.f '(x0)与Δx的具体取值无关； 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 导数的作用： 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率. 一.导数的定义: 导数的作用： 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 问题：从求函数f (x)在x=x0处的导数的过程来看,当x=x0时,f '(x0)是不是一个确定的数？ 当x=x0时,f '(x0)是一个确定的数. 因此,当x变化时,f '(x)便是x的一个函数,我们称它为f (x)的导函数(简称导数). 记作：f '(x)或y '，即： 导函数的定义 二.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率是f '(x0) . 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: y-y0=f '(x0)(x-x0) P Pn O x y 割线 T 切线 x0 x0+Δx 函 数 导 数 f(x)=xa f '(x)=axa-1 f(x)=sinx f '(x)=cosx f(x)=cosx f '(x)=-sinx f(x)=ex f '(x)=ex f(x)=lnx 三.导数的计算 典例剖析 求下列函数的导数： 分析：给定x,计算2x,再算2x+1, 分析：给定x,计算3x,再算1-3x,再算差的-4次方. 再算(2x+1)5. 典例剖析 求下列函数的导数： 先用四则运算法则，再用复合求导，最后用公式. 关于曲线的切线方程问题，还有其它类型吗? 求切线方程的步骤 例2 已知函数g (x)=xlnx (1)求这g(x)的导数； (2)求这个函数的图象在x=1处的切线方程. 1.求切线方程(切点已知) 解：切点为(1,g(1)),即(1,0), ∴k切=g'(1)=ln1+1=1 由g(x)=xlnx得：g'(x)=lnx+1, ∴所求切线方程为y=x-1. 切点已知,求导求k切 点斜式 例3 已知函数g(x)=xlnx,求过点P(0,-e)且与g(x)相切的直线方程. 解：由g(x)=xlnx得：g'(x)=lnx+1,P(0,-e)不在函数图像上,即P不是切点. 设切点为(x0,y0) ∴ k切=g'(x0)=lnx0+1, 则切线方程为y-y0=(lnx0+1)(x-x0), ∴所求切线方程为y=2x-e. 切点在曲线上； k切=f '(x) 切点在切线上 切点末知型 2.求切线方程(切点末知) 4.列表标明导函数的符号变化,原函数的单调性. 2.求出函数的导函数 1.求出函数的定义域 3.解不等式 x f '(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 列表如下: x (-∞,0) (0,+∞) f '(x) - + f(x) 单调递减 单调递增 x (-∞,-1) （-1,1） (1,+∞) f '(x) - + - f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 列表如下 列表如下 x f '(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 列表如下 练习 求下列函数的单调区间并做出简图. x (-∞,0) (0,+∞) f '(x) - + f(x) 单调递减 单调递增 x (-∞,-1) （-1,1） (1,+∞) f '(x) - + - f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 列表如下 列表如下 x f '(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 列表如下 练习 求下列函数的单调区间并做出简图. x (-∞,0) （0,ln2） (ln2,+∞) f '(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 4.列表标明导函数的符号变化,原函数的单调性. 2.求出函数的导函数 1.求出函数的定义域 3.解方程 用导数研究函数性质的步骤. 四.利用导数研究函数的性质 5.写出函数的极值，端点值，找出最大值与最小值. a b 实质上表格反映的就是函数的草图, 判断f '(x)的符号及应对策略: ②也可判断导函数中各因式的符号; ③还可用等会特值法判断,要灵活,快速,准确. 下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别. ①可借助决定导函数符号的图像直观解决; 例1 已知函数g(x)=xlnx-x+1. (1)求函数g(x)的单调区间;(2)求函数g(x)的极值;(3)求函数g(x)的最值. x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) - 0 + g(x) ↘ 极小 ↗ 解：g(x)=xlnx-x+1的定义域为(0,+∞). g'(x)=lnx+1-1=lnx 由g'(x)=lnx=0得：x=1 ∴函数g(x)的增区间为(1,+∞); 减区间为(0,1). 函数g(x)有极小值g(1)=0,无极大值. g(x)min= g(1)=0,无最大值. x 0 1 若函数有唯一的极小值，则极小值就是最小值. 若函数有唯一的极大值，则极大值就是最大值； 函数的最大(小)值的存在性定理 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值. 1.函数的极值与最值的关系 若函数没有极值，则函数y=f(x)为单调函数. 若函数有多个极值，则从极值和端点中选取最值. 连续不断 基础知识(理解牢记) 1.与函数单调性有关的恒成立 类型1 函数 f(x)在区间D单调递增,____________； 类型2 函数 f(x)在区间D单调递减,____________； 2.单变量的恒成立转换 类型1 x,使得f(x)>0,只需___________; 类型2 x,使得f(x)<0,只需___________; 类型3 x,使得f(x)>A,只需___________; 类型4 x,使得f(x)<A,只需___________; 类型5 x,使得f(x)>g(x),只需____________________; 类型6 x,使得f(x)<g(x),只需__________________. f '(x)≥0 f '(x)≤0 f(x)min>0 f(x)max<0 f(x)min>A f(x)max<A h(x)min=[f(x)-g(x)]>0 h(x)max=[f(x)-g(x)]<0 2.利用导数研究与函数有关的不等式问题 3.双变量的恒成立转换(注意两个函数的顺序) 类型1 _____________________. 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 3.利用导数研究与函数有关的方程问题 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点. 等价关系 零点“存在”定理： 并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不间断的一条曲线, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根． 函 数 导 数 f(x)=xa f '(x)=axa-1 f(x)=sinx f '(x)=cosx f(x)=cosx f '(x)=-sinx f(x)=ex f '(x)=ex f(x)=lnx 11.设函数 f(x)=2x3-3ax2+1,则( ) A.当a>1时,f(x)有一个零点 B.当a<0时x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 $$