河南省部分示范性高中2025届高三上学期12月联考数学试题

2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试12月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（ ） 附：若，则，，． A. 120人 B. 122人 C. 124人 D. 127人 5. 已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（其中e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数为偶函数 D. 当时，若，则不等式的解集为 10. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则 11. 已知函数，则（ ） A. 当，时，直线与曲线相切 B. 当时，函数的减区间为 C. 当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为 D. 当，时，若（其中），有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则向量与的夹角为______． 13. 已知，满足，，则________． 14. 已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． （1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； （2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面是的中点，是的中点． （1）若平面平面直线，证明：直线； （2）若，直线与平面相交于点，求平面和平面的夹角的余弦值． 18. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． （1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； （2）对于任意的实数，，证明：； （3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 19. 已知点（其中）是抛物线上的两点．点为抛物线上异于原点的任意一点，过点作抛物线的切线与轴交于点，过点且与直线的倾斜角互补的直线交抛物线于另一点，过点作抛物线的切线与轴交于点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若以线段为直径的圆与直线相切，求点的纵坐标； （3）若直线与相交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试12月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 4 2 0 ，期望为. 【17题答案】 【答案】（1） 证明： 如图，连接， 因为， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以直线. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 设，有， 易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件， 当时，显然有， 当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知， 存在，使得， 有，又由，有， 可得， 由上知，不等式成立. （3） 由，有， 又由，设， 有， 可得函数单调递增， 由拉格朗日中值定理可知，存在， 使得， 同理可知，存在， 使得， 又由和函数单调递增，有， 有， 由化简可得， 故不等式成立． 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $