精品解析：福建省长乐第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（英才班）

长乐一中2023～2024学年第一学期高二英才班 第一次月考（数学试卷） 考试范围：选择性必修一 考试时间: 2023-10-7 限时：120分钟； 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 2. 已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】根据直线方程可得， 故直线过点， 当时，若直线过原点可得， 当时，直线不过第四象限， 当时，直线过第四象限， 综上可得， 故选：B 3. 已知圆C:（x-1）2+y2=1，点P为直线x-y+1=0上的任意一点，PA为圆C的切线（A为切点），则|PA|的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由切线性质可得，所以，若要最小，只要最小，根据点到直线垂线段最短，即可得解. 【详解】根据题意圆的半径，圆心为， 根据切线性质可得， 所以， 若要最小，只要最小， 根据点到直线垂线段最短， ， ， 故选：A 4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积. 【详解】设，，则有，两式作差得：， 即， 弦中点坐标为，则， 又∵，∴，∴， 又∵，∴可解得，， 故椭圆的面积为. 故选：C 5. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正三棱柱补成一个直四棱柱，分别将直线平移到的位置，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】将正三棱柱，补形成直四棱柱，如图所示， 设，则，分别取的中点，连接， 连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以四边形为平行四边形，则有， 又因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 则，再取的中点，连接，则， 从而得到，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）， 令，则在中，， ， 由余弦定理可得：， 故选：. 6. 已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，由题意得，直线l的倾斜角为，且经过双曲线的左焦点，当点P位于第三象限时，，又，连接，此时为正三角形，不符合题意，则点P位于第二象限，故，连接，由双曲线的定义知， 为等腰三角形，， ． 故选：A． 7. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1，则， ，因动点P在线段上，则令， 即有点，，，， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：C 8. 如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转体特性可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，根据内接正方形与圆得关系求出一组代入椭圆方程即可求出a，最后得出答案. 【详解】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1，所在圆半径为 根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得，解得， 故选：B 二、多项选择题：每小题5分，共20分. 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 如果，，那么直线不经过第三象限； B. 过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为：； C. 直线：在轴的截距为； D. 直线：的倾斜角为； 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程的倾斜角、斜截式、截距式的概念与图象性质，以及直线方程不同形式与一般式的转化，即可判断正误. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， ，， A与C符号相反，B与C符号相反， 则A与B符号相同， 直线的斜率，在y轴上的截距， 直线不经过第三象限，A选项正确； 对于B，当在轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为， 因为点在直线上，则， 所以直线方程为，即， 当在轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为， 因为点在直线上， 所以直线方程为，即，B选项错误； 对于C，已知直线：， 当时， 直线：在轴的截距为1，C选项错误； 对于D，直线：可化为， 设倾斜角为，则， 而，所以，D选项错误； 故选：BCD. 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 椭圆离心率为 D. 面积最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义得到，进而判断当轴时，最小，此时最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D. 【详解】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图： 将代入椭圆方程得：，则. 所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确； 对D，设，，代入椭圆方程得：，则， 所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误. 故选：BC. 【点睛】本题答案D的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到；在处理最好采用换元法，这样可以简化运算. 12. 在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 C. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 D. 存在唯一的实数对，使得平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，当时， 是的中点，连接与交于点，则为的中点， ∴，面，又点在上，∴点到面的距离为定值， ∴三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当时，点为的中点，设四棱锥的外接球的半径为， 则球心O在PM延长线上，由OP=R得OM=， 由得，解得， ∴外接球的表面积为，故B正确； 对于C，连接，过点作于，连接， ∵平面，∴平面平面， 平面平面，∴平面， ∴为与平面所成角， ∵，∴，， 在由余弦定理有， 在中由勾股定理有， ∴，解得，故C正确． 对于D，∵点在上，又在上，在上，∴平面即为平面， 又易证平面，∴是平面的法向量， ∴要使平面，须与共线，即须与共线，显然不可能， ∴不存在实数对使得平面，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知，，且，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解， 【详解】，， 而，故 即，解得， 故答案为： 14. 已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线的方程为，则，求出，即可求直线的方程． 【详解】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得， 或， 直线的方程为或. 故答案为：或 15. 如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设知，，，，由此能求出该双曲线的渐近线方程． 【详解】解：设左焦点为，由题设知，，，， ， ， ， 双曲线的渐近线方程是． 故答案为． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意圆的性质的灵活运用． 16. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出⊥平面和平面平面，从而有⊥平面，则其轨迹为（除外），再计算周长即可. 四．解答题：本小题共6小题，共70分. 17. 已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. （2）求出圆心C到直线l的距离，设出直线l的方程，借助点到直线距离公式计算作答. 【小问1详解】 设与直线垂直的直线方程为，依题意，点在直线上， 即有，解得，于是得圆心C所在直线：， 由解得，则圆心，半径， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离， 当直线l的斜率不存在时，直线l：，圆心C到此直线的距离为2，则直线l：， 当直线l的斜率存在时，设直线，即， 圆心C到此直线的距离，解得，于是有， 所以直线l的方程为或. 18. 如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； 【小问2详解】 因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 19. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 如图，连接．因为侧面为菱形，且， 所以为等边三角形，所以． 又因为平面平面， 平面， 平面平面， 所以平面ABC． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点， 分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz． 不妨设，由题可知，，，，． 由，可得． 设平面的法向量为， 而，，则有, 取，得． 设平面的法向量为， 而，， 则有， 取，得． 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为． 20. 已知椭圆：（）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过椭圆的左焦点，与交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可构造出关于的方程组，解方程组求得即可得到标准方程； （2）设，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，由，代入韦达定理结论可整理得到关于的函数形式，通过换元法可求得函数最值点，进而得到的值. 【详解】（1）离心率和长半轴的比值为，…①， 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，…②， 又…③，由①②③可解得：，，， 椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知：，直线倾斜角不为零，可设， 由得：， 设，，则，， ， 令，则，， （当且仅当，即时取等号）， ，此时，解得：， 直线的方程为：，即. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离或切割的方式表示出所求三角形的面积； ④通过换元法将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性求解出最值. 21. 图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明： 取的中点，连接， 因为四边形是边长为2的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：，又因为是平面内两条相交直线， 所以平面，即平面, 因为平面，所以平面平面； （2）存在，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，取的中点，连接，由勾股定理逆定理得：，从而平面,所以平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点的坐标，从而得到线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故， 令，则，故， 其中 则， 解得：,则， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且． （1）求的方程； （2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值． 【答案】（1） （2） 证明：分以下两种情况讨论： ①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即， 设点、， 联立可得， 则，可得，则， 不妨点、分别为直线与直线、的交点， 联立可得，联立可得， 此时，. 综上所述，点与点的横坐标之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得的值，进而可得出双曲线的方程； （2）分两种情况讨论：直线轴、直线的斜率存在，在第一种情况下，直接与点的横坐标之积；在第二种情况下，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出，求出点、的横坐标，结合可证得结论成立. 【小问1详解】 解：易知点、、，，， 所以，，解得，，则， 所以，双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2023～2024学年第一学期高二英才班 第一次月考（数学试卷） 考试范围：选择性必修一 考试时间: 2023-10-7 限时：120分钟； 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆C:（x-1）2+y2=1，点P为直线x-y+1=0上的任意一点，PA为圆C的切线（A为切点），则|PA|的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：每小题5分，共20分. 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 如果，，那么直线不经过第三象限； B. 过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为：； C. 直线：在轴的截距为； D. 直线：的倾斜角为； 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 椭圆离心率为 D. 面积最大值为 12. 在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 C. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 D. 存在唯一的实数对，使得平面 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知，，且，则 ___________. 14. 已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________. 15. 如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是______. 16. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 四．解答题：本小题共6小题，共70分. 17. 已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 18. 如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 19. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆：（）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过椭圆的左焦点，与交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程． 21. 图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 22. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且． （1）求的方程； （2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $