（3）2025年江苏省南通市中考数学专题练习—— 一次函数与反比例函数

2025年南通市中考数学专题练习（三）—— 一次函数与反比例函数 一、单选题 1．（2024年如东、海门市一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2024年海安市一模）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3. （2024年通州、如东二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 4．（2024年崇川区三模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 5．（2024年启东市一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（2024年崇川区一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（      ） A． B． C．20 D．24 7. （2024年海门二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 8．（2024年启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2024年崇川区一模）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D． 若△AOB的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10. （2024年海安市二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 二、填空题 11．（2024年启东市二模）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可） 12．（2024年如东、海门市一模）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过，两点．若的面积为，则的值为 ． 13．（2024年海安市一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 14．（2024年崇川区二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为 ．    15.（2024年海门二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上． 若，且，则k的值为____． 16. （2024年海门二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为____． 17. （2024年通州、如东二模）如图，的边轴，点在上，反比例函数的图象经过，两点．若的面积为，且，则的值为_____． 18．（2024年崇川区三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ． 三、解答题 19．（2024年崇川区二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． (1)求m的值； (2)若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 20．（2024年崇川区一模）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图． 小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． (1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由； (2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； (3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 21．（2024年崇川区三模）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示． (1)求乙车到达B地的时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 22．（2024年启东市一模）已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地． (1)求甲的速度； (2)请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； (3)当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值． 23．（2024年海安市一模）两地相距，甲车从地驶往地，乙车同时从地以的速度匀速驶往地，乙车出发1小时后，中途休息．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离地的距离分别为，图中线段表示与的函数关系． (1)甲车的速度为____________； (2)若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇； (3)若甲、乙两车在距地至（包括和）之间的某处相遇，求的取值范围． 24．（2024年如东、海门市一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 25．（2024年崇川区一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点． (1)判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由； (2)若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值； (3)若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年南通市中考数学专题练习（三）—— 一次函数与反比例函数（解析） 一、单选题 1．（2024年如东、海门市一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    B  ） A． B． C． D． 解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 2．（2024年海安市一模）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  A  ） A． B． C． D． 3. （2024年通州、如东二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（ D ） A. B. 0 C. D. 4．（2024年崇川区三模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ C ） A． B． C．或 D．或 5．（2024年启东市一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（   B   ） A． B． C． D． 解：在图象上，，， 令，， △， 与有两个交点， ，， ，， 点的横坐标为，点的横坐标为， 作于点，作轴于点，则， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ， 6．（2024年崇川区一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（   C   ） A． B． C．20 D．24 解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 7. （2024年海门二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴ 8．（2024年启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（   D  ） A．6 B．8 C．10 D．12 解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图像经过点B， ∴． 故选：D． 9．（2024年崇川区一模）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D． 若△AOB的面积为，则的值为（   C  ） A． B． C． D． 【详解】过点A作轴，交y轴于点E，过点B作轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，∴四边形为矩形， ∵点A（，），点B（，）在双曲线上， ∴，，， 矩形面积 ， ∵， ∴，∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，或， ∵， ∴不符合题意， 经检验，是原方程的解，∴， 根据题意，得，， ∴，， ∴， 10. （2024年海安市二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【详解】解：连接，如图； 与x轴相切，为的直径， ，， ， ， 即， ， 二、填空题 11．（2024年启东市二模）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y=2x (答案不唯一) （只要写出一个符合题意的答案即可） 12．（2024年如东、海门市一模）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过，两点．若的面积为，则的值为 ． 解：如图，作轴，轴，垂足分别为、， ∵ 根据反比例函数k值的几何意义可得： ，， ， 整理得：， ， ， ，解得， ． 13．（2024年海安市一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 3 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标为， ∵，， ， ， ∴点坐标为 ， ，， ， 即， ，解得 14．（2024年崇川区二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为 ． 解：∵中，，∴点和点纵坐标相同， ∵点在反比例函数上，点在反比例函数上， 设，则，∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴点坐标为，即， ∵点在反比例函数上，∴，化简得， 15. （2024年海门二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为____． 【答案】 解：如图，作轴于点M，轴于点E，轴于点F， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ，即， 由勾股定理有， 即， ， ， ， ，， ， ， 点D在函数的图象上， ，（舍负）， ，，， ， ， ， 16. （2024年海门二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为____． 【答案】 【详解】始终为， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为， 设点M坐标为，设点N坐标为， 连接，设该直线的解析式为：， 得：，解得， ． 设， 由平行四边形的性质可得：， 当时，的值最小， 17. （2024年通州、如东二模）如图，的边轴，点在上，反比例函数的图象经过，两点．若的面积为，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】如图，延长交轴于点，过作于点，过作于点， ∵的面积为，且， ∴的面积为，的面积为， ∵，∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵， ∴， 由，则， ∴， ∴的面积为， ∴， ∴，由图象在第一象限， ∴ 18．（2024年崇川区三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 27 ． 解：设 则 ， 四边形的面积 ， ， ， 当，即 时， 有最小值 三、解答题 19．（2024年崇川区二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． (1)求m的值； (2)若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【详解】（1）由题意列方程，得．解得． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 答：m的值为90； （2）设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台， 则． ∵， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最小值，最小值为48万元． ∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元． 20．（2024年崇川区一模）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图． 小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． (1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由； (2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； (3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 【详解】（1）解：认同，理由如下： 观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系； 观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1）， ∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2， ∴不是反比例函数关系， 小莹认为不能选是正确的； （2）解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)， 由题意得，解得：， ∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)； 检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意； ②号田符合y=−0.1x2+ax+c， 由题意得，解得：， ∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1； 检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意； （3）解：设总年产量为w，依题意得： w= −0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2=−0.1(x2-15x+-)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625， ∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值， ∴在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨． 21．（2024年崇川区三模）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．    (1)求乙车到达B地的时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【详解】（1）由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， （2）由（1）可知， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， （3）乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，，解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 22．（2024年启东市一模）已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地． (1)求甲的速度； (2)请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； (3)当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值． 【详解】（1）甲的速度为； （2）由题意知，乙的行驶时间为：， ， 当时，乙与B地的距离， 当时，设， 将，代入，得：， 解得， 当时， 综上可知，， 函数图象如下： （3）解：同（2）可得，甲与B地的距离与之间的关系式为：， 令，即时，乙追上了甲． 乙在行驶途中与甲相距时，分两种情况： ①相遇前：，令，解得， ②相遇后：，令，解得． 综上，x的值为或． 23．（2024年海安市一模）两地相距，甲车从地驶往地，乙车同时从地以的速度匀速驶往地，乙车出发1小时后，中途休息．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离地的距离分别为，图中线段表示与的函数关系． (1)甲车的速度为____________； (2)若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇； (3)若甲、乙两车在距地至（包括和）之间的某处相遇，求的取值范围． 【详解】（1）由图可得，甲车的速度为 （2）若甲、乙同时到达目的地，即均用时3小时， 则，得， 即乙休息了小时， 甲、乙同时出发小时，甲行驶， 此时乙还在休息，乙行驶 ， 甲在乙休息时与其相遇， 小时， 甲行驶小时与乙相遇； （3） 如图，甲、乙同时从A、B出发，1小时后甲、乙分别到达点D、点C，，，乙在点C休息m小时的同时甲行驶到了点E，， 当甲、乙分别在E、C同时出发，在点M相遇， 若，则，， 甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时， ， ， ，； 若，则，， 甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时， ， 故m的范围是． 24．（2024年如东、海门市一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则，解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则，解得， 月份该产品销售单价的范围是． 25．（2024年崇川区一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点． (1)判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由； (2)若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值； (3)若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围 【详解】（1）解：函数与函数是关联函数 依题意，设和是与函数这两个函数的一对关联点， ∴，解得：或， ∴和或和是这两个函数的一对关联点； （2）解：∵对于任意实数，函数与始终为关联函数， ∴，，即， ∴，， ∴； （3）解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点， 设和是这对函数的关联点， ∴， 即关于的方程，有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵，∴． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$