2025年江苏省南通市中考数学专题练习——方程与不等式

2025年南通市中考数学专题练习（二）—— 方程与不等式 1、 单选题 1．（2024年如东、海门一模）关于x的一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2024年如东、海门一模）已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为c-a，则多项式的值可以是（    ） A． B．2 C． D． 3. （2024年通州区、如东市二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 4．（2024年崇川区二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（     ） A． B．6 C． D．3 5．（2024年启东市二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6. （2024年通州区、如东市二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. （2024年海门市二模）若关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. （2024年海门市二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9．（2024年崇川区三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 10．（2024年崇川区一模）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为 ． 11．（2024年崇川区一模）对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 ． 12．（2024年海安市一模）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ． 13．（2024年启东市一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 14．（2024年崇川区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ． 15. （2024年海安市二模）某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____． 16．（2024年启东市二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等；（盈）：剩下．则库绢共有 匹． 17. （2024年通州区、如东市二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为__________． 18．（2024年崇川区三模）设，是一元二次方程的两个根，则 ． 3、 解答题 19．（2024年崇川区一模） （1）计算：； （2）解方程：． 20．（2024年崇川区二模） （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 21. （2024年海门市二模） （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集． 22．（2024年海安市一模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 23．（2024年启东市二模） （1）解不等式组：； （2）解方程：． 24．（2024年崇川区三模） （1）解方程组        （2）计算： 2025年南通市中考数学专题练习（二）—— 方程与不等式（解析） 4、 单选题 1．（2024年如东、海门一模）关于x的一元二次方程的根的情况是(  A  ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2024年如东、海门一模）已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为c-a，则多项式的值可以是（  A  ） A． B．2 C． D． 【详解】当时，该多项式的值为， ，整理得， ，，即， ， ，， ， ， 当时，， 根据二次函数的图象可知，当时，． 3. （2024年通州区、如东市二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4．（2024年崇川区二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   A  ） A． B．6 C． D．3 【详解】∵，是一对“互助数” ∴，去分母得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 5．（2024年启东市二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   A ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 6. （2024年通州区、如东市二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：依题得：，解得， 则要使题中条件成立，，解得． 7. （2024年海门市二模）若关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【详解】解：， ，解得，， ，解得，， ∵关于的不等式组的解集中至少有1个整数解， ∴，解得， ∴整数a的最小值为1 8. （2024年海门市二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解关于x，y的方程组：，解得：， ，，，解得：， 的取值范围为： 9．（2024年崇川区三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（   B  ） A． B． C． D． 5、 填空题 10．（2024年崇川区一模）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为 ． 11．（2024年崇川区一模）对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 ． 解：由可得：， 当时，不等式的解集为， 对于任意的，恒成立， ∴，解得：； ∴， 当时，恒成立，满足题意； 当时，不等式的解集为， ∵对于任意的，恒成立， ∴，解得：，故符合题意； 综上所述，． 12．（2024年海安市一模）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 20 ． 【详解】 将代入得：原式 13．（2024年启东市一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 解：，解得：， ∵不等式组无解， ∴ 14．（2024年崇川区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 x(x+12)=864 ． 15. （2024年海安市二模）某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____． 【答案】396元 【详解】解：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意得 ，化简得：，则， 所以，收入应该是396元， 16．（2024年启东市二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等；（盈）：剩下．则库绢共有 匹． 解：若设贼有x人，库绢有y匹， 根据题意得：，解得：， ∴库绢共有84匹 17. （2024年通州区、如东市二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】2020 解：由题意得，则， ∴， ∴ 18．（2024年崇川区三模）设，是一元二次方程的两个根，则 ． 解：∵α，β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 6、 解答题 19．（2024年崇川区一模） （1）计算：； （2）解方程：． 解：（1）； （2）， 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 20．（2024年崇川区二模） （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 解：（1） 解不等式①得：，        解不等式②得：，               ∴不等式组的解集为；           （2）解：原式                               ，                                当时，原式． 21. （2024年海门市二模） （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 把代入上式，原式． （2）解：， 由①得，由②得， 画出数轴如图所示， 由数轴可知不等式组的解集为． 22．（2024年海安市一模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 【详解】（1） 解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集为：； （2）原式 23．（2024年启东市二模） （1）解不等式组：； （2）解方程：． 解：（1） 由①得，， 由②得，． ∴原不等式组的解集． （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：将代入， ∴是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 24．（2024年崇川区三模） （1）解方程组       （2）计算： 解：（1）方程组的解是： （2） 原式 学科网（北京）股份有限公司 $$