2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：费马点问题

费马点问题 【问题介绍】 如图 1，点 P 为△ABC 内一点，求当 P 在何处时，PA ＋PB＋PC 最小，此类问题称为“费马点问题”. 【问题解决】 第一步：如图 2，将△APB 绕点 A 顺时针旋转 60°得△AP′B′，连 接 PP′，则 PA ＝P′A，PB＝P′B′， 第二步：证明△PAP′为等边三角形，所以PP′＝PA，则PA＋PB＋ PC＝PP′＋P′B′＋PC≥B′C， 第三步：如图 3，当 B′，P′，P，C 四点共线时，PA ＋PB＋PC 取 得最小值，为 B′C 的长，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°. 【例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC ＝2，点 O 为 Rt△ABC 内一点，连接 AO，BO，CO，则 OA＋OB＋OC 的最小值为________. 【思路】 60 AOB 等边 第一步：确认问题，本题属于典型的费马点问题，由于∠ABC 的 度数已知，所以将△AOB 绕点 B 顺时针旋转______°至△MNB，即 构造△MNB≌△________， ↓ MN NO OC MC 第二步：证明△ONB为________三角形， ↓ C O N M 第三步：OA＋OB＋OC＝_____＋_____＋_____≥_____＝_____， 当且仅当点______，______，______，______四点共线时，OA＋ OB＋OC 取得最小值为________. 2 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，P 是矩形内部一点， Q 是 BC 边上任意一点，试确定 P点、Q点的位置，使得PA ＋PD＋PQ 最小，这个最小值为___________. 4.如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，∠BAC的平分线交 BC 于 点E，过点C作射线AE的垂线，垂足为D，连接BD，当S△ACE－S△BED 取最大值时，在△ACD 内部取点 P，则 3PC＋4PD＋5PA 4 的最小值是 ________. 1.(2023·宜宾)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－3，0)，顶 点为 M(－1，m)，且抛物线与 y 轴的交点 B 在(0，－2)与(0，－3)之间 (不含端点)，则下列结论：①当－3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面 其中正确的结论是________.(填写所有正确结论的序号) ①② 3.(2024·黄埔区一模)如图，在矩形 ABCD 和矩形 AGFE 中，AD＝ CF，AC，AF. (1)求证：△ABG∽△ACF； (2)当 CE 的长度最大时， ①求 BG 的长度； 图 1 连接 PK 根据.APK 边角关系，可得 PK＝AP. 图 2 4.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 在线段 BC 的垂直平分线上，连接 BD，CD. (1)如图 1，若∠BDC＝120°时，连接 AD 并延长交 BC 于点 F，若 AB＝6，求△ACD的面积； 解：(1)如图 1，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E. ∵点 D 在 BC 的垂直平分线上，∴BD＝CD. ∵∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°. 图 1 (2)证明：在线段 AF 上截取 FM＝EH， 过点 C 作 CN⊥BE，交 BE 于点 N，如图 2. ∵∠ABC＝90°，BE⊥AD，AB＝BC， ∴∠BCE＝∠ABC＝∠BGM＝90°，∠BCA＝45°， 图 2 ∴∠FBG＋∠ABG＝90°，∠FBG＋∠BFG＝90°，∠ECH＝45°， ∴∠ABG＝∠BFG. ∵EC⊥BC，∴AB∥EC，∴∠ABG＝∠CEH，∴∠BFG＝∠CEH， ∴△ABF≌△BCE(AAS)， ∴△BFM≌△CEH(SAS)， ∴∠FBM＝∠ECH＝45°，∠BMF＝∠CHE，BM＝CH. ∵点 D 在 BC 的垂直平分线上， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠BCD. ∵AD⊥CD， ∴∠DGN＝∠CDG＝∠CNG＝90°， ∴四边形 CDGN 是矩形， ∴DG＝CN，GN∥CD， ∴∠CHE＝∠DCH， ∴∠CHE＝45°＋∠DCB， ∴∠BMF＝45°＋∠DCB. ∵∠DBM＝∠FBM＋∠DBC＝45°＋∠DBC， ∴∠DBM＝∠BMD， 图 3 如图 4，过点 C 作 CS⊥BE，交 BE 于点 S，过点 E 作 ER⊥BC 交 BC 的延长线于点 R，过点 Q 作 QT⊥CB，交 CB 的延长线于点 T. ∴∠QTB＝∠BSC＝∠CRE＝90°， ∴∠ECR＝∠BCA＝45°， ∴∠ECR＝∠CER， 图 4 ∵△DCE∽△PCA， ∴∠CED＝∠CAP. ∵∠CED＋∠SKC＝90°，∠SKC＝∠AKP， ∴∠CAP＋∠AKP＝90°， ∴∠APB＝∠APK＝90°， ∴∠APB＝∠CSB. $$