2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：代数法求最值问题

代数法求最值问题 【问题介绍】 初中几何中的最值问题常涉及面积、周长、角度等几何量，使用 代数法，可以将几何问题转化为代数问题.根据条件建立数学表达式， 通过代数运算的方法求出最值. 【问题解决】 1.求关于 x 的二次多项式 ax2＋bx＋c 的最值，常常结合二次函数 的性质进行求解，或者直接使用配方法求解.令 y＝ax2＋bx＋c，当 x＝ 【例题】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一点，过点 E 作 EF⊥AE，交 DC 于点 F，连接 AF，则 AF 的最小值是_____. 5 【思路】 垂线段最短 DF 90 思考：虽然点F始终在DC上运动，但无法直接根据____________ 得到最值，因此可以转化为求________的最小值. 第一步：根据正方形 ABCD 的性质，以及 EF⊥AE，得∠B＝∠C ＝∠AEF＝________°. ↓ ABE ECF 第二步：证明△________∽△________. ↓ 4－x 第三步：设 BE＝x，则 CE＝________，CF＝________. ↓ 第四步：当 x＝________时，CF 取最大值为________，此时 DF 有最小值为________. 2 1 3 3 5 ↓ 第五步：当 DF＝________时，AF 取最小值为________. 1.(2023·辽阳)如图，线段 AB＝8，点 C 是线段 AB 上的动点，将线 段 BC 绕点 B 顺时针旋转 120°得到线段 BD，连接 CD，在 AB 的上方 作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接 AF，当 AF 最小时，△BCD 的面积为________. 2.(2023·徐州)【阅读理解】如图 1，在矩形 ABCD 中，若 AB＝a， BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2＋b2，同理BD2＝a2＋b2，故AC2＋ BD2＝2(a2＋b2). 【探究发现】如图 2，四边形 ABCD 为平行四边形，若 AB＝a， BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由. 【拓展提升】如图 3，已知 BO 为△ABC 的一条中线，AB＝a， BC＝b，AC＝c. 【尝试应用】如图 4，在矩形 ABCD 中，若 AB＝8，BC＝12，点 P 在边 AD 上，则 PB2＋PC2 的最小值为________. 200 解：【探究发现】结论依然成立，理由如下： 如图，作 AE⊥BC 于点 E，作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F， 则∠AEB＝∠CFD＝90°. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，AB＝a，BC＝b， ∴AB＝DC＝a，AD∥BC，AD＝BC＝b. ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴AE＝DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴BE＝CF， ∴AC2＋BD2＝AE2＋CE2＋BF2＋DF2 ＝(AB2－BE2)＋(BC－BE)2＋(BC＋CF)2＋DF2 ＝AB2－BE2＋BC2－2BC·BE＋BE2＋BC2＋2BC·BE＋BE2＋AE2 ＝AB2＋BC2＋BC2＋BE2＋AE2 ＝AB2＋BC2＋BC2＋AB2 ＝2(AB2＋BC2) ＝2(a2＋b2). 【拓展提升】证明：如图，延长 BO 到点 C，使 OD＝BO，连接 DA，DC. ∵BO 为△ABC 的一条中线， ∴OA＝CO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵AB＝a，BC＝b，AC＝c. ∴由【探究发现】，可知 AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)， ∴c2＋(2BO)2＝2(a2＋b2)， ∴c2＋4BO2＝2(a2＋b2)， 1.(2023·无锡)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°， ∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段 MN 在边AD上运动，且 MN＝1， 则 BM2＋2BN2 的最小值是( ) B 13 A. 2 29 B. 3 C. 39 4 D.10 2.(2023·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC ＝6，点 M 是边 AC 上一动点，点 D，E 分别是 AB，MB 的中点，当 AM＝2.4 时，DE 的长是________.若点 N 在边 BC 上，且 CN＝AM， 点 F，G 分别是 MN，AN 的中点，当 AM>2.4 时，四边形 DEFG 面积 S 的取值范围是____________. 1.2 3≤S≤4 3.(2024·黄埔区一模改编)已知二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象与x 轴交于点 A(1，0)和点 B(－3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)，若点 D 是 直线 BC 上方的抛物线上一点，过点 D 作 DE∥y 轴交射线 AC 于点 E， 过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，求 3 DF－DE 的最大值及此时点 D 的坐 标. 解：由点 A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)的坐标，得直线 AC 的表 达式为 y＝－3x＋3，直线 BC 的表达式为 y＝x＋3. 如图，延长 ED 交 BC 于点 N. 设点 D(m，－m2－2m＋3)，N(m，m＋3)，E(m，－3m＋3)， 4.如图，抛物线 y＝x2－4x 与 x 轴交于 O，A 两点，P 为抛物线上 一点，过点 P 的直线 y＝x＋m 与对称轴交于点 Q. (1)这条抛物线的对称轴是________，直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的 度数是________； x＝2 45° (2)当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 C(2，2) 的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D. 求：①PD＋DQ 的最大值； ②PD·DQ 的最大值. 解：①过点 C 作 CH∥x 轴交直线 PQ 于点 H， 如图，可得△CHQ 是等腰直角三角形. ∵∠CDQ＝45°＋45°＝90°， ∴AD⊥PH， ∴DQ＝DH， ∴PD＋DQ＝PH. 解：(1)∵将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 60°，得到线段 FG， ∴△FGE 是等边三角形，∴∠EGF＝60°. (2)如图，作 FO⊥EG 于点 O，连接 BO，过点O 作 OR⊥AE 于点 R，过点 G 作 PQ∥AD 分别交 AB， CD 于 P，Q. 由(1)可得△EFG 是等边三角形， ∴点 O 为 EG 的中点，∴∠EOF＝90°，∠EFO＝30°. ∵∠EBF＝90°，∴∠EOF＋∠EBF＝180°， ∴B，E，O，F 四点共圆， ∴∠OEB＋∠OFB＝180°，∠OBF＝∠OEF＝60°，∠EBO＝∠EFO＝30°. ∵∠OEB＋∠AEO＝180°，∴∠AEO＝∠BFO. $$