2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：阿氏圆问题

阿氏圆问题 【问题介绍】 如图 1，⊙O 的半径为 r，点 A，B 是⊙O 外的两个定点，点 P 为 ⊙O 上一动点，已知 r＝k·OB，连接PA ，PB，求“PA ＋k·PB”的最小 值，此类问题称为“阿氏圆问题”. 【问题解决】 第一步：如图 2，连接 OB，OP(一般将含有 k 的线段的两端点分 别与圆心 O 相连). P 为圆上一动点，连接 AP，BP，则 AP＋ BP的最小值为______. 【例题】如图，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C 的半径为2， 【思路】 CP PCD BCP PD AD P D ⊙B 上的一个动点，则 PD＋ PC 的最小值为________. 1.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 9，⊙B 的半径为 6，点 P 是 2.如图，在直角扇形 OAB 中，OB＝6，∠AOB＝90°，M 在OB延 ︵ 长线上，OM＝9，∠OMN＝60°，MN＝8，P 是AB上一动点，则2PM ＋3PN 的最小值为________. 21 3.如图，在直角扇形 OAB 中，OB＝6，∠AOB＝90°，M是OB中 ︵ 点，点 N 在 OA 上，ON＝5，P 是AB上一动点，则 2PM＋PN的最小值 为________. 13 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝6，在线段 AB 上有一点 M，且 BM＝2，在线段AC上有一动点N，连接MN，BN， 将△BMN 沿 BN 所在直线翻折得到BM′N，连接 AM′，CM′，则 2CM′ 2.(2023·广州二模)如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝AD， ∠ABC＝90°，∠BAD＝60°. (1)求∠ACD 的度数； 将△OBM 沿 OM 所在直线翻折至△OPM 的位置，P 为 B 的对应点， 连接 PA ，PC，请直接写出 4PC＋PA 的最小值. 解：(1)如图，连接 BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD＝60°，BD＝AB. ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝∠BAC＝45°，BD＝BC， ∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝75°－45°＝30°. (2)证明：如图，连接 BD，延长 BF 到点 G，使得 FG＝BF，在 FG上取一点 E，使得 DE＝DC，连接 EC，GD，CG. ∵BD＝BC，DF＝FC， ∴BF⊥CD， ∴ED＝EC＝CD， ∴△EDC 是等边三角形， ∴∠ADB＝∠CDE＝60°， ∴∠ADC＝∠BDE. ∵DA＝DB，DC＝DE， ∴△ADC≌△BDE(SAS)， ∵DF＝FC，FB＝FG， ∴四边形 BDGC 是平行四边形. ∵BG⊥CD，∴四边形 BDGC 是菱形， ∴∠BDC＝∠CDG＝75°. ∵∠CDE＝60°，∴∠EDG＝15°，∠EGD＝15°， 解：如图，连接 IJ，JK. $$