2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：造桥选址问题

造桥选址问题 【问题介绍】 如图1，已知直线m∥n，在m，n上分别找一点M，N，使得MN⊥m， 求 AM＋MN＋NB 的最小值，该问题源于人教版八年级上册数学教材中 课题学习的内容，以造桥选址为实际背景的问题. 【问题解决】 第一步：如图 2，将点 A 沿 MN 的方向向下平移至点 A′，平移距 离为 MN 的长度， 第二步：如图 2，连接 AA′，A′N，则四边形 AA′NM 为平行四边形， 所以 AM＝A′N，则 AM＋MN＋NB＝MN＋A′N＋NB≥MN＋A′B， 第三步：如图 3，当且仅当点 A′，N，B 三点共线时，AM＋MN＋ NB 取得最小值. 【例题】在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中 点，点 E，F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF＝2，当四边形BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标. 【思路】 DE 第一步：四边形BDEF的周长C四边形BDEF＝BD＋____＋EF＋____， 其中 BD＝________，EF＝________，则当________＋________ 时，四边形 BDEF 的周长最小， 2 DE BF ↓ 第二步：如图，将点 D 向右平移___个单位长度得 到 D′________，作 D′关于 x 轴的对称点 D″_________， 连接 BD″交 x 轴于点 F，将点 F 向左平移 2 个单位长度 到点______， 2 (2，2) (2，－2) E ↓ BF D″F BF D″B 第三步：此时 DE＋BF＝________＋________≥________，此时 点 E 和点 F 为所求作的点，且四边形 BDEF 周长最小， ↓ 第四步：待定系数法求出直线 BD″的解析式为 y＝____________， 求得点 E 坐标为____________. 【答案】 1.如图，抛物线 y＝(x－1)2－4 与 y 轴交于点 C，M 为抛物线的顶 点，N(4，5)为抛物线上的点，过点 C 作直线 l∥x 轴，动点 P(m，－3) 在直线l上，动点Q(m，0)在x轴上，连接 PM，PQ，NQ，当m为______ 时，PM＋PQ＋QN 的和最小为________. 2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A在 y 轴的正半轴上，点B 在 x 轴的正半轴上，OA＝OB＝10，将直线 AB 向下平移 10 个单位长 度得到直线 l，点 M，N 是直线 l 上的动点(M，N 的横坐标分别是 xM， ，求四边形 ABNM 的周长的最小值，并说 xN，且 xM＜xN)，MN＝4 明理由. 解：如图所示，作点 A 关于直线 l 的对称点 C，作 MD∥BN，连 接 MC，CD.∴AM＝MC，AC⊥MN. ∵MN∥AB，MD∥BN， ∴四边形 MNBD 是平行四边形，∠CAD＝90°， ∴MN＝BD，MD＝BN. 1.(2022·桂林中考真题改编)如图，抛物线 y＝－x2＋3x＋4 与 x 轴 交于 A，B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴交于C点，抛物线的对 称轴 l 与 x 轴交于点 N，长为 1 的线段 PQ(点 P 位于点 Q 的上方)在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动，则 CP＋PQ＋QB 的最小值为____. 6 2.(2023·齐齐哈尔中考真题改编)如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上 的点 A，C 坐标分别为(0，2)，(4，0)，抛物线与 x 轴负半轴交于点 B， 点 M 为 y 轴负半轴上一点，且 OM＝2，连接 AC，CM.将抛物线沿 x 轴的负方向平移得到新抛物线，点 A 的对应点为点 A′，点 C 的对应点 为点 C′，在抛物线平移过程中，当 MA′＋MC′的值最小时，新抛物线 的顶点坐标为___________，MA′＋MC′的最小值为________. 解：存在，理由如下： 抛物线向左或向右平移，因为 AB，P′C′是定值，所以 A，B，P′， C′所构成的多边形的周长最短，只要 AC′＋BP′最小. 第一种情况：抛物线向右平移，AC′＋BP′＞AC＋BP； 第二种情况：向左平移，如图所示，作点 C′关于 x 轴对称的点 C″， 将点 P′向左移 5 个单位长度得到点 P″，连接 C′C″，P′P″，C″P″，当 C″，A，P″三点共线时，AC″＋BP″最短. $$