2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 【问题介绍】 1.如图 1，⊙O 半径为 r，点 P 为圆外的一个定点，圆上任意一点 与点 P 之间的距离记为 d，求 d 的最大值和最小值. 2.如图 2，⊙O 半径为 r，直线 m 为定直线，圆上任意一点到直线 m 的距离记为 d，求 d 的最大值和最小值. 以上两个问题是常见的与圆有关的最值问题. 【问题解决】 1. 如图 3 ，连接 OP 交⊙O 于点 A ，延长 PO 交⊙O 于点 B ，则 PA≤d≤PB，即 d 的最小值为 PA ＝OP－r，d 的最大值为 PB＝OP＋r. 2.如图 4，过点 O 作 OM⊥直线 m 于点 M，并交⊙O 于点 A，延长 MO 交⊙O 于点 B，则 AM≤d≤BM，即 d 的最小值为 AM＝OM－r，d 的最大值为 BM＝OM＋r. 类型 点圆最值问题 【例 1】如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E 是 AB 的中点，点 F 是边 AD 上的一个动点，将△AEF 沿 EF 所在直线翻 折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是__________. 【思路】 AE 2 E 2 圆弧 第一步：将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF，则A′E＝ ________＝________， ↓ CE A′E 第二步：确定点 A′的运动轨迹，因为点 A′到定点________的距离 等于定长________，所以点 A 的轨迹为________， ↓ E A′ C 第三步：求最值，A′C≥______－_______＝__________，当且仅 当点_________，_________，_________三点共线时 A′C 取得最小值为 ________. 1.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，AB＝5，AC＝4， 则 BE 的最小值是( ) C 2.如图，△ABC 为等边三角形，AB＝2，若 P 为△ABC 内一动点， 且满足∠PAB＝∠ACP，则线段 PB 长度的最小值为________. 3.如图，在菱形 ABCD 中，AB＝3，∠ABC＝60°，点 E，F 分别是 边 BC 和对角线 AC 上的动点，且 BE＝CF，连接 AE，BF 相交于点 M， 点 P 是 BC 边上的一个动点，连接 PM，PD，则 PM＋PD 的最小值是 ____________. 类型 线圆最值问题 【例 2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°， 点 F 在边 AC 上，并且 CF＝2，点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 ____________. 【思路】 CF F 2 圆弧 AB FM 第一步：将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则FP＝____， ↓ 第二步：确定点 P 的运动轨迹，因为点 P 到定点________的距离 等于定长________，所以点 P 的轨迹为________， ↓ FM FP F P M 第三步：过点 P 作 PM⊥_______，垂足为点 M，并连接 FM，则 FP＋PM≥________， ↓ 第四步：求最值，PM≥________－________，当且仅当点 ______，______，______三点共线时 PM 取得最小值为________. 1.如图，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点 D 为动点，连接 BD，CD， ________. 2.如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点(不与点C重合)，△CDE关于直线DE的轴对称图形为△FDE，设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1－S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由. 解：存在，理由如下： 过点 D 作 DM⊥AB 交 AB 于点 M，如图. ∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2，∴DF＝2， ∴点 F 在以 D 为圆心，2 为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小，此时S取到最大值. ∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°， 1.(2024·广州二模)如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E 在 边 AD 上，AE＝2，点 P，Q 分别是直线 BC，AB 上的两个动点，将 △AEQ 沿直线 EQ 翻折，使点 A 落在点 F 处，连接 PF，PD，则 PD ＋PF 的最小值是________. 2.(2024·烟台)如图，在▱ABCD 中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10. E 为边 CD 的中点，F 为边 AD 上一动点，将△DEF 沿直线 EF 翻折得 △D′EF，连接AD′，BD′，则△ABD′面积的最小值为___________. 3.如图，⊙O 为 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4 AC＝4，点 D 是⊙O 上的动点，且点 C，D 分别位于 AB 的两侧. (1)求⊙O 的半径； (2)设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在 最大值？若存在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由. 解：(1)如图，连接 OC，OD. ∵∠ACB＝90°， ∴AB 是直径. ∴⊙O 的半径为 4. (2)存在，如图，连接 OM，OC. ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点 M 的运动轨迹是以 AO 为直径的⊙J. 连接 CJ，JM. ∵△AOC 是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， 4.(2023·广州一模)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝ 60°，∠ADC＝75°，BD＝6，则四边形 ABCD 的面积是否有最小值？ 如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由. 解：四边形 ABCD 的面积有最小值，理由如下： 如图，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△BAH，连接 DH. 易证△BDH 为等边三角形， ∴S四边形ABCD＝S△BAH＋S△ABD＝S△DBH－S△ADH， ∴当△ADH 面积最大时，四边形 ABCD 的面积最小. ∵∠ABC＝60°，∠ADC＝75°， ∴∠BAD＋∠BCD＝∠BAD＋∠BAH＝225°， ∴∠DAH＝135°. ∵DH＝DB＝6， ∴点 A 在定圆⊙O 上运动，如图，则当 O，A，B 三点共线时， △DAH 的面积最大，此时 OB⊥DH，设 OB 交 DH 于点 K， ∴HK＝KD＝3. ∵AH＝AD， ∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°. 在 HK 上取点 F，使得 FH＝FA ，如图，则△AKF 是等腰直角三 角形. $$