2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：线段和最值问题

线段和最值问题 【问题介绍】 如图，在直线上找一点 P，使得 PA ＋PB 值最小，该问题俗称将军 饮马问题.本节主要解决此类线段和最值问题. 两定一动 一定两动 两定两动 在直线上找 一点 P，使得 PA ＋PB 的值 最小 在 OA 上找一点 M，在 OB 上找一 点 N，使得△PMN 的周长最小 在 OA 上找一点 M，在 OB 上找 一点N，使得PM ＋MN 的值最小 在 OA 上找一点 M， 在 OB 上找一点 N， 使得四边形 PMNQ 的周长最小 【问题解决】 【总结】 在解决线段和最值问题时，常常通过作平移、轴对称、旋转等图 形变换的方式进行线段的转化，实现“化曲为直”. 类型 将军饮马 【例1】如图，四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°， 在BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN＋ ∠ANM的度数为_______. 140° 【思路】 AM MN AN △AMN的周长C△AMN＝________＋________＋________， ↓ 第一步：求三条线段长度和的最小值，需要通过作________转化 线段， 轴对称 BC DC A′M A″N ↓ 第二步：作点 A 关于________的对称点 A′，点 A 关于________的 对称点 A″， 则 AM＝________，AN＝________， ↓ AM MN AN A′M MN A″N A′A″ 第三步：C△AMN＝________＋________＋________＝________＋ ________＋________≥______， 当点________，M，N，_______四点共线时，△AMN 的周长最 小， A′ A″ ↓ 第四步：此时∠AMN＋∠ANM 的度数为________. 140° 1.如图，∠AOB＝60°，点 P 是∠AOB 内一定点，且 OP＝4，点 M， N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，当△PMN 的周长取最小值 时，点 O 到线段 MN 的距离为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分 线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最 小值是________. C 类型 斜边中线 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，△ABC 是边长为 2 的正三角形，点 A，B 分别在 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴 上滑动，点 C 在第一象限，连接 OC，则线段 OC 的长的最大值是 ________. 【思路】 第一步：由于点 A，B 均为动点，则猜测 OA_______OB 时，OC 最大， 此时最大值为 OC最大值＝________， ＝ ↓ 第二步：构造辅助线，取________的中点D，连接________和 ________， AB OD CD OD CD 则 OC≤________＋________＝________， ↓ D 第三步：当且仅当点 O，____，C 三点共线时，OC 取得最大值. 1.如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在边 OM， ON 上，当点 B 在边ON上运动时，点A 随之在OM上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB＝8，BC＝2.在运动过程中点 D 到点 O 的最 大距离为____________. 2.如图，已知正方形 ABCD 中，两动点 M 和 N 分别从顶点B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CD 向终点 C，D 运动，连接 AM， BN，交于点 P，再连接 PC，若 AB＝4，则 PC 长的最小值为_______. 1.(2023·广州一模)如图，在平面直角坐标系中，点 A(6，0)，B(0， 8)，点 C 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 O－A－B DE＋EC 的和最小时，点 E 的坐标为( ) B 2.(2024·绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点 P 为∠AOB 内部一点， 点 M 为射线 OA、点 N 为射线 OB 上的两个动点，当△PMN 的周长最 小时，则∠MPN＝________. 80° 3.如图，矩形 ABCD 中，AD＝6，∠CAB＝30°，点 P 是线段 AC 上的动点，点 Q 是线段 CD 上的动点，则 AQ＋QP 的最小值是______. 4.(2024·盐城)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的等边 △ABC 的顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC 沿 BC 所在直线翻折得到△DBC，则 OD 的最大值为___________. 5.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位 于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫 和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN＝4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距离分别为 4 和 2.在此滑动过程中， 猫与老鼠的距离 DE 的最小值为_________. 6.(2024·广州一模)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AC＝6，点 D 在边 BC 的延长线上，将线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DE，连接 BE，P 为 BE 的中点. (1)求 BC 的长； (2)连接 AP，PD，请猜想 AP 与 PD 的数量和位置关系，并证明你 的结论； (3)在(2)的条件下，若点 M 为 AC 中点，连接 MP，PC，求 MP＋ PC 的最小值. 解：(1)∵在等腰直角三角形 ABC 中，AC＝6， (2)AP＝PD，AP⊥PD.理由如下： 如图所示，连接 CE，AP，PD.∵将线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到线段 DE，∴CD＝DE，∠CDE＝90°， ∴△CDE 是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45°， 又∵∠ACB＝45°，∴A，C，E 三点共线. ∵P 为 BE 的中点，∠BAE＝∠BDE＝90°， ∴PA ＝PD. ∵∠BAE＝∠BDE＝90°， ∴A，B，E，D 四点共圆， ︵ ︵ ∵AD＝AD， ∴∠APD＝2∠ABC＝90°， ∴AP⊥PD. (3)如图所示，过点 A 作 AT⊥BC 于点 T，连接 TP， ∴∠ATD＝∠APD＝90°，∴A，T，P，D 四点共圆. ︵ ︵ ∵PD＝PD，∴∠DTP＝∠DAP＝45°， ∴点 P 在射线 TP 上运动， ∵∠DTP＝∠ACB＝45°， ∴TP∥AC. 作点 M 关于 TP 所在直线的对称点 M′，连接 CM′， 当点 P 在 CM′上时，PM＋PC＝PM′＋PC＝M′C，此时 PM＋PC 取最小值. ∵△ATC 是等腰直角三角形，M 是 AC 的中点，AC＝6， $$