2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：线段差最值问题

线段差最值问题 【问题介绍】 如图，在直线 l 上找一点 P，使得 |PA －PB| 值最大.本节主要研究 此类线段差的最值问题. 【问题解决】 如图，连接 AB 并延长，且与直线 l 交于点 P′，则|PA －PB|≤AB， 当且仅当点 A，B，P 三点共线，即点 P 与点 P′重合时，|PA －PB|取得 最大值为 AB 的长. 【思考】 (1)如图，当点 A，B 位于直线 l 的两侧时，点 P 在何处使得|PA－ PB| 值最大？ (2)如图，当点 A，B 位于直线 l 的两侧时，点 P 在何处使得|PA－ PB| 值最小？ (1)如图，作点 B 关于 l 的对称点 B′，转化为同侧的问题. (2)根据绝对值的非负性，作 AB 的垂直平分线交 l 于 P′，当点 P 与 P′重合即 PA ＝PB 时|PA －PB|最小. 【例题】如图，在正方形 ABCD 中，AB＝8，AC 与 BD 交于点 O， N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM＝6.P 为对角线 BD 上一点， 则 PM－PN 的最大值为________. 2 【思路】 第一步：确认问题，点 M，N 分别位于点 P 所在直线 BD 的两侧， 求 PM－PN 的最大值， BD PN′ ↓ 第二步：作对称，作点 N 关于直线_______的对称点为点 N′，并 连接________， PN′ MN′ CM P N′ M ↓ 第三步：因此 PM－PN＝PM－________≤________＝________， 当且仅当点________，________，________三点共线时，PM－PN 取 得最大值. 于点 E，点 P 为直线 DE 上一点，点 P 与点 P′关于 AC 对称，F 为 BC 中点，连接 P′F，P′A，则|P′F－P′A|的最大值是________. 2.如图，等边△ABC 和等腰△BCD，且 BC＝CD，BD 交 AC 于点 E，P为平面内一点，连接PB，PC，PD，若∠BCD＝120°，且BC ＝ 　 ， PC＝4，当 PB－PD 取最大值时，求△PBD 的面积. 解：如图 1，作∠PCR＝120°，且 CR＝CP，连接 BR，PR. 图 1 ∵∠BCD＝120°，∴∠BCD＝∠PCR， ∴∠BCD－∠DCR＝∠PCR－∠DCR， ∴∠BCR＝∠DCP. ∴△CBR≌△CDP(SAS)， ∴BR＝DP，∠CRB＝∠CPD， ∴PB－PD＝PB－BR≤PR， 当且仅当 B，R，P 三点共线时 PB－PD 取得最大值， 如图 2，过点 C 作 CQ⊥PR 于点 Q. ∵CP＝CR＝4，∠PCR＝120°， ∴PQ＝RQ，∠CPR＝∠CRP＝30°， 图 2 当 PB－PD 取得最大值时， ∠CRB＝∠CPD＝180°－∠CRP＝150°， 此时，∠BPD＝∠CPD－∠CPR＝120°. 过点 D 作 DO⊥BP 交 BP 延长线于点 O， ∴∠DOP＝90°，∠DPO＝60°， ∴∠PDO＝30°， 1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝10，DE∥BC交AB于 点 D、交 AC 于点 E，点 M 是 DE 的中点，在 BC 上有一动点 N，当 |AN－MN|有最大值时，△ANC的面积是________. 5 2.(2023·广州二模)在△ABC 中，∠ABC＝90°，D为BC延长线上 一点，且 EA＝EC＝ED. (1)如图 1，当∠BAC＝35°时，则∠AED＝________； 110° (2)如图 2，当∠BAC＝60°时，直线 CF 与 ED 交于点 F，满足 ∠CFD ＝∠CAE，P 为直线 CF 上一动点.当 PE－PD 的值最大时，判 断 PE，PD 与 AB 之间的数量关系，并证明. 解：PE－PD＝2AB.证明如下： 如图，作点 D 关于直线 CF 的对称点 D′，连接 CD′，DD′，ED′. 根据三角形任意两边之和大于第三边，可得当点 P 在 ED′的延长 线上时，PE－PD 的值最大. ∵D 关于直线 CF 的对称点 D′， ∴PD＝PD′，CD＝CD′，∴PE－PD＝ED′. ∵∠AED＝360°－2∠ACD＝60°，∠CFD＝∠CAE， ∴∠ACF＝360°－60°－180°＝120°. ∵∠ACD＝150°，∴∠FCD＝30°， ∴∠D′CD＝60°，∴∠D′CE＝∠DCE－60°. ∵△AED 是等边三角形， ∴∠CDA＝∠CDE－60°，∴∠CDA＝∠D′CE. 又∵CD＝CD′，EC＝ED， ∴△CDA≌△D′CE(SAS)，∴AC＝ED′. ∵∠BAC＝60°，∠B＝90°， ∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB， ∴PE－PD＝2AB. 3.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 AD 为直径的⊙O 交 AB 于点 E，连接 DE，DA＝5，DE＝4，DC＝8.过点 E 作直线 l，过点 C 作 CH⊥l，垂足为 H. (1)求 sin∠ADE 的值； (2)过点 A 作 AM⊥l，垂足为 M，当直线 l 绕点 E 旋转时，求 解：(1)∵AD 为⊙O 的直径， ∴∠AED＝90°. ∵DA＝5，DE＝4， (2)如图所示，过点 B 作 BN⊥l 于点 N，过点 B 作 BT∥l 交 CH于 点 T. ∵BN⊥l，CH⊥l，BT∥l，∴BN∥CH， ∴四边形 BTHN 是平行四边形，∴HT＝BN. ∵AM⊥l，BN⊥l，∴AM∥BN， ∴△AME∽△BNE. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，DC＝8，AE＝3， ∴BE＝AB－AE＝8－3＝5， 此时CH－ AM的最大值即为BC，如图所示. 又∵CT≤BC，∴当直线 l 与直线 BC 垂直时，CT＝BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝5， 4.如图，正方形 ABCD中，AB＝ ，点 Q 是正方形所在平面内一 动点，满足 DQ ＝1，记 S＝AQ2－BQ2，在点 Q 的运动过程中，S 是否 存在最大值或最小值？若存在，求出其值；若不存在，说明理由. 解：∵DQ＝1， ∴点 Q 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上，如图，当 AQ＜BQ 时， 过点 Q 作 QJ⊥AB 交 BA 的延长线于点 J. ∵AQ2－BQ2＝JQ2＋AJ2－(JQ2＋BJ2)＝AJ2－BJ2＝(AJ＋BJ)(JA－ 观察图象可知，当 JA 的值最大时，AQ2－BQ2 的值最小， 此时点 Q 在 CD 的延长线上，JA＝1， 如图，当 AQ＞BQ 时，过点 Q 作 QJ⊥AB 交 BA 于点 J. ∵AQ2－BQ2＝JQ2＋AJ2－(JQ2＋BJ2)＝AJ2－BJ2＝(AJ＋BJ)(AJ－ BJ)＝AB·(AJ－BJ)， 观察图象可知，当 AJ－BJ 的值最大时，AQ2－BQ2 的值最大， $$