2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：其他面积问题

其他面积问题 【例1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，－2). (1)求抛物线的函数解析式； 第一步： ＝_____，把面积比转化为两条边长的比， 【思路】 DE AE (1)待定系数法，把三个点的坐标代入函数解析式. (2)△BDE的边________与△ABE的边________在同一条直线上， ↓ ↓ 第二步：构造相似三角形△________∽△________，把边长的比 进行转化， ↓ _______＝________，并求出最大值. AEK DEF 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0) 两点， ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－4). (2)过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K，如图. ∴AK∥DG， ∴△AKE∽△DFE， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b1， 1.(2023·抚顺)如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 点 O，过点 B 作 BE∥AC，交 DA 的延长线于点 E，连接 OE，交 AB 于点 F，则四边形 BCOF 的面积与△AEF 的面积的比值为_____. 2.(2022·湖北)抛物线 y＝x2－4x 与直线 y＝x 交于原点 O 和点 B， 与 x 轴交于另一点 A，顶点为 D. (1)直接写出点 B 和点 D 的坐标； (2)如图，M 是点 B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的 动点，它的横坐标为 m(0＜m＜5)，连接 MQ，BQ，MQ 与直线 OB 交 解：(1)令 y＝x2－4x＝x，解得 x＝0 或 x＝5， ∴B(5，5)； ∵y＝x2－4x＝(x－2)2－4， ∴顶点 D(2，－4). (2)∵点 B(5，5)与点 M 关于对称轴 x＝2 对称， ∴M(－1，5). 如图，分别过点 M，Q 作 y 轴的平行线，交直线 OB 于点 N，K， ∴N(－1，－1)， ∴MN＝6， 3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2＋2x＋c 与 坐标轴分别相交于点 A，B，C(0，6)三点，其对称轴为 x＝2. (1)求该抛物线的解析式； (2)点 F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 AF 分别与 y 轴，直线 BC 交于点 D，E，若△CAD，△CDE，△CEF 的面积分别 为S1，S2，S3，且满足S1＋S3＝2S2，求点F的坐标. 分别为(－2，0)，(6，0). 过点 E，F 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M，N，如图. ∵△CAD，△CDE，△CEF 同高， 1.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋3 交 x 轴于 A(1，0)，B(3，0)两点，M 为抛物线的顶点，C，D 为抛物线上不与 A，B重合的相异两点，记AB 中点为 E，直线 AD，BC 的交点为 P. (1)求抛物线的函数表达式. (2)小明研究发现：无论 C，D 在抛物线上如何运动，只要 C，D， E 三点共线，△AMP，△MEP，△ABP 中必存在面积为定值的三角形. 请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由. 解：(1)因为抛物线 y＝ax2＋bx＋3 经过点 A(1，0)，B(3，0)， 所以抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋3. (2)△ABP 的面积为定值，其面积为 2.理由如下： 如图，当 C，D 分别运动到点 C′，D′的位置时，C，D′与 D， C′分别关于直线 EM 对称，此时仍有 C′，D′，E 三点共线.设 AD′与 BC′ 的交点为 P′，则 P，P′关于直线 EM 对称，即 PP′∥x 轴. 此时，PP′与 AM 不平行，且 AM 不平分线段 PP′， 故 P，P′到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP 与△AMP′ 的面积不相等， 所以△AMP 的面积不为定值. 如图，当 C，D 分别运动到点 C1，D1 的位置，且保持 C1，D1， E 三点共线时，AD1 与 BC1 的交点 P1 到直线 EM 的距离小于 P 到直 线 EM 的距离， 所以△MEP1 的面积小于△MEP 的面积，故△MEP 的面积不为定 值. 又因为△AMP，△MEP，△ABP 中存在面积为定值的三角形，故 △ABP 的面积为定值. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图 象与 x 轴交于点 A(－2，0)和点 B(6，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，6). 点 D 为线段 BC 上的一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)连接 AC，过动点 D 作 DP∥AC 交抛物线第一象限部分于点 P， 连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时， 求点 P 的坐标，并求出此时 S 的最大值. 解：(1)由题意，设抛物线的表达式为 y＝a(x＋2)(x－6)， (2)由已知点 A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)，设直线 BC 的表达式 为 y＝kx＋b， ∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋6.同理，可得直线 AC 的表达式为 y＝3x＋6. ∵PD∥AC， ∴可设直线 PD 的表达式为 y＝3x＋a. $$