2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：面积最值

面积最值 【例1】(2024·黑龙江)如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 B(1，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式. (2)在第二象限内的抛物线上是否存在一点 P，使得△APC 的面积 最大？若存在，请直接写出点 P 的坐标和△APC 面积的最大值；若不 存在，请说明理由. 【思路】 (1)用待定系数法，把点 B，C 的坐标代入解析式求解. (2)求△APC的面积， －x2－2x＋3 －x2－3x ↓ 第一步：过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，并与 AC 交于点 F， ↓ 第二步：设点 P 的坐标为(x，__________)，并表示出 PF 的长为 ___________， ↓ 第三步：代入S△APC＝S△APF＋S△CPF表示出△APC的面积，则S△APC ＝______________， ↓ 第四步：求出△APC的面积最大值及此时点P的坐标. 解：(1)把 B(1，0)，C(0，3)代入抛物线 y＝－x2＋bx＋c 中， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3. (2)当y＝0时，0＝－x2－2x＋3，解得x1＝－3，x2＝1， ∴A(－3，0)， ∴OA＝3. ∵C(0，3)， ∴OC＝3. 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋3， 把 A(－3，0)代入 y＝kx＋3 得 －3k＋3＝0，解得 k＝1， ∴直线 AC 的解析式为 y＝x＋3. 如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，并与 AC 交于点 F，过点 C 作 CG⊥AE 于点 G. 设 P(x，－x2－2x＋3)，－3<x<0， ∴F(x，x＋3)， ∴PF＝(－x2－2x＋3)－(x＋3)＝－x2－3x， 3 2.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC⊥BC，∠ABC＝60°， AD＝CD＝BC＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则△MBC 面积的最小值为__________. 3.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，AC＝ ，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积 最大，求出点 P 的坐标. (2)如图，过点 P 作 PK∥y 轴交 BC 于点 K. 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋n，将 B(－3，0)，C(0，3)代入， ∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3. 设 P(t，－t2－2t＋3)，－3<t<0，则 K(t，t＋3)， 1.如图，⊙O 的半径是 2，直线 l 与⊙O 相交于 A，B 两点，M，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形 MANB 面积的最大值是________. 2.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D 为边 AB 上一 动点(B 点除外)，以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则△BDE 面积的最大值为________. 8 3.(2023·海珠区一模)如图，点 D 为等边三角形 ABC 的边 BC 上一 动点，AB＝4，连接 AD，以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CE，CF， 则当 BD＝________时，△CEF 的面积取最小值，最小值为________. 4.(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为C， 与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段 AB 上的动点， 过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标. 解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为 C，与 x 轴 交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4， ∴B(－3，0)， (2)如图，过点 Q 作 QE⊥x 轴于点 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F. 设P(m，0)，－3≤m≤1，则PA＝1－m. ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴C(－1，－4)， ∴CF＝4. 5.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：y＝x2＋bx＋c 经过点 A(0， 2)，B(2，2)，顶点为 D，抛物线 C2：y＝x2－2mx＋m2－m＋ 2(m≠1)，顶点为 Q. (1)求抛物线 C1 的表达式及顶点 D 的坐标； (2)如图，连接 BD，DQ，点 M 是抛物线 C1 对称轴左侧图象上的 动点(不与点 A 重合)，过点 M 作 MN∥DQ 交 x 轴于点 N，连接 BN， DN，求△BDN面积的最小值. 解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(0，2)，B(2，2)， ∴抛物线 C1 的表达式为 y＝x2－2x＋2， ∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∴顶点 D 的坐标为(1，1). (2)如图，过点 M 作 MP⊥x 轴，垂足为 P，过点 D 作 DK∥y 轴， 过点 Q 作 QK∥x 轴，与 DK 交于点 K. 设 M(h，h2－2h＋2)，h<1，且 h≠0，N(n，0)， ∵y＝x2－2mx＋m2＋2－m＝(x－m)2＋2－m， ∴抛物线 C2 的顶点 Q 的坐标为(m，2－m)， ∴DK＝|1－(2－m)|＝|m－1|，KQ＝|m－1|， ∴DK＝KQ，∠DQK＝45°. $$