2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：胡不归问题

胡不归问题 【问题介绍】 如图 1，点 P 为射线 AC 上的一个动点，点 A，B 为定点，求 PB＋k·PA (其中k＝sin α)的最小值，形如此类问题，俗称“胡不归问题”. 【问题解决】 第一步：如图 2，以 AC 为边，构造∠CAD＝α，则 sin∠CAD＝ sin α＝k. 第二步：如图 2，过点 P 作 PE⊥AD，垂足为 E，则 PE＝PA · sin∠CAD＝k·PA ， 则 PB＋k·PA ＝PB＋PE≥BE. 第三步：如图 3，过点 B 作 BE⊥AD，垂足为 E，交射线 AC 于点 P，当且仅当点 B，P，E 三点共线时，PB＋k·PA 取得最小值，为 BE 的长. 【思考】当系数 k＞1 时，怎么处理？ 可以提取系数 k，使得其中一项的系数为 1，另一项的系数小于 1， 转化为胡不归问题，例如 3PB＋2PA ＝3 【例题】如图，四边形 ABCD 是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°， ________. 【思路】 所以需要构造含________°的直角三角形， ↓ 第二步：过点 M 作 MN⊥________，垂足为 N， ↓ 且仅当 A，________，________三点共线时取最小值. 30 30 BC MN AN M N 1.如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD＋ BD 的最小值是( ) B 3 3.(2023·黄石)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－3，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，4). (1)求此抛物线的解析式； (2)若点 D，E 分别是线段 AC，AB 上的动点，且 AE＝2CD，求 CE＋2BD 的最小值. 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝k(x＋3)(x－4)＝k(x2－x－12)，代入 (2)如图，连接 BC，BD，CE，作∠EAG＝∠BCD. E 重合)，则 CP＋ BP 的最小值为________. 1.(2023·湘西州)如图，⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，其半径 为 4.过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，点 P 为线段 BE 上一动点(点 P 不与 B， 6 2.如图，△ABC 中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点 B 作 BF⊥BC 交 AC 于点 F.点 Q 是线段 AB 上一动点 (不与 A，B 重合)，连接 FQ，则 BQ＋2FQ 的最小值为________. 6 3.已知抛物线 y＝x2－bx＋c(b，c 为常数，b>0)与 x 轴的一个交点 为 A(－1，0)，点 M(m，0)是 x 轴正半轴上的动点，点 D 在抛物线上， 值为________. 3 4.(2024·广州一模)抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 B(3，0)，对称轴为直线 x＝1， 对称轴与 x 轴交于点 D. (1)求该抛物线的解析式； 最小值，并求出最小值. (2)如图，过点 C 作直线 CT 交 x 轴于点 T，设 T(x，0). ∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，∴D(1，0). 过点 D 作 DH⊥CT 交 y 轴于点 E，垂足为点 H，此时点 D 到直线 CT 的距离最短，∴DE＋HE 最小. 5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于 CD 的对称图形为△CED. (1)求证：四边形 OCED 是菱形； (2)连接 AE，若 AB＝6 cm，BC＝ cm. ①求 sin∠EAD 的值； ②若点 P 为线段 AE 上一动点(不与点 A 重合)，连接OP.一动点 Q 从点 O 出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动.当点 Q 沿上 述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程 所需的时间. 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD. ∵AC 与BD 交于点O，且△COD，△CED 关于CD 对称， ∴DO＝CO，DO＝DE，OC＝EC， ∴DO＝OC＝EC＝ED， ∴四边形 OCED 是菱形. (2)①如图，连接 OE，直线 OE 分别交 AB 于点 F，交 DC 于点 G. ∵△COD 关于 CD 的对称图形为△CED，∴OE⊥DC. ∵DC∥AB，∴OF⊥AB，EF∥AD. ∵在矩形 ABCD 中，G 为 DC 的中点，且 O 为 AC 的中点， ②如图，过点 P 作 PM⊥AB 交 AB 于点 M，过点 O 作 OP1∥AB 交 AE 于点 P1，过点 P1 作 P1M1⊥AB 于点 M1. ∴点 Q 以 1.5 cm/s 的速度从点 P 到点 A 所需的时间等于以 1 cm/s 的速度从点 M 运动到点 A 所需的时间， $$