第三章圆综合练习 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第三章圆综合练习北师大版2024—2025学年九年级下册 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝，AH＝3，求EM的值． 2．如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT． （1）如图1，求证：BT是⊙O的切线； （2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tanT的值； （3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长． 3．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E． （1）求证：∠BME＝∠MAB； （2）求证：BM2＝BE•AB； （3）若BE＝，sin∠BAM＝，求线段AM的长． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径 （1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：△ABD∽△DBE； （3）若cosB＝，AE＝4，求CD． 5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD． （1）求证：∠DAC＝∠DBA； （2）求证：P是线段AF的中点； （3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD． （1）求证：CD2＝AC•EC； （2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （3）若AE＝EC，求tanB的值． 7．如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）求证：△CFP∽△CPD； （3）如果CF＝1，CP＝2，sinA＝，求O到DC的距离． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 9．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E （1）证明点C在圆O上； （2）求tan∠CDE的值； （3）求圆心O到弦ED的距离． 10．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）证明：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG•ED的值． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当＝时，求tanE； （3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径． 13．如图1，AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与AB的延长线交于点E，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB．． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若AB＝6，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长； （3）如图2，连接OD交AC于点G，若＝，求sinE的值． 14．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2＝EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长． 15．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长； （3）如图2，连接OD交AC于点G，若＝，求sin∠E的值． 16．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线； （2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO．试证明BG＝PG； （3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝．求弦CD的长． 17．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF． （1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线； （2）若tan∠F＝，CD＝a，请用a表示⊙O的半径； （3）求证：GF2﹣GB2＝DF•GF． 18．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值． 19．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值． 20．如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A＝α，∠B＝β， 且2α+β＝90°． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若OA＝6，sinβ＝，求BC的长． 21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD． （1）求证：∠AKD＝∠CKF； （2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值． 22．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB＝20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD＝8． ①求BC的长； ②连接DC，求tan∠PCD的值； ③以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式． 23．已知：如图，AB是⊙O的直径，线段AF和⊙O切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于点E，过B点的切线与DE的延长线交于点C． （1）求证：CD与⊙O相切． （2）若tan∠BEC＝2，BE+CD＝8+5，求四边形ABCD的周长． 24．如图，a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+4（c+2）＝（c+4）x的两个根．点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E． （1）判断△ABC的形状； （2）若tanA＝，求AE的长． 25．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A＝60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2＝0的两根（k为常数）． （1）求证：PA•BD＝PB•AE； （2）求证：⊙O的直径长为常数k； （3）求tan∠FPA的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$