6.2.4 向量的数量积（3）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4平面向量的数量积(3) 【学习目标】 能利用数量积的概念与性质进行相关运算． 能从投影等角度找到问题的几何背景, 形成和发展自己的数形 结合能力． 合理利用转化法、放缩法等方法，求解向量中的最值问题． 【重点难点】 利用所学知识灵活采取不同的方法，提高解决问题的能力． 【预备知识】 平面向量的加法、减法、数乘的定义与运算． 数量积定义及其物理与几何意义． 数量积的性质． 【典型例题】 1．向量数量积的有关运算 例 1 若| a | 1,| b | 2 ,向量a 与向量b 的夹角为120 . （Ⅰ）求a  b . （Ⅱ）求| a  b | . （Ⅲ）求向量a 与向量a  b 的夹角. | a || a  b | 代入公式cos a  (a  b) . 分析： 对于（Ⅰ）求a  b ，直接代入公式 a  b | a || b | cos. 对于（Ⅱ）求| a  b | 应该联想性质 | a + b |2  a + b2 . 对于（Ⅲ）求向量a 与向量a  b 的夹角． 解： 所以向量a 与向量a  b 的夹角为90 . （Ⅰ） a  b =| a |  | b | cos120° 12( 1)  1. 2 （Ⅱ）因为| a  b |2  a  b2 =a2  2a  b  b2  1 2  4  3 所以| a  b | 3 . ． （Ⅲ）因为a  (a  b)  a2  a  b  11  0 . cos a  (a  b) =0 | a || a  b | 条件：| a | 1,| b | 2, 120 2．多角度求数量积 例 2 在正三角形 ABC 中, AB  3 , D 是 BC 上一点,       且 BC  3BD ,则 AB  AD  . D C B A   分析：结论如何转化 AB  AD 很难直接用数量积定义直接求得，那该怎么办？ 可以转化为其他向量的数量积． 联想数量积几何意义， 即投影向量的概念． D C B A 3 BC)     1   AB AD  AB  ( AB  BD)  AB  ( AB             AB  AB  BC 3  2 1     1 15 2  9   3 3 cos120  3 C A D 120 B 3 方法一： （转化为其他向量的数量积） D C 过 D 点作 DM  AB 于 M ， 投A影向量 15 5 2 2  3  AB  AD | AM || AB |      方法二： 5 M 1 B 2 2 60° 由数量积的几何意义知 （利用投影向量） 求数量积的几种方法的适用条件 ①定义法：数量积定义， 适用条件是已知向量的模与夹角． ②转化法：适用条件是所求数量积，可以转化为 已知模和夹角的向量． ③几何法：适用条件是易求得投影向量． 变式练习： 正三角形 ABC 的边长为1，点 P 是 AB 边上的动点， 点Q 是 AC 边上的动点,且 AP  AB, AQ  1  AC, R ， 则 BQ  CP 的最大值为________． 解：BQ  CP  (BA  AQ)  (CA  AP)  [BA  (1) AC](CA  AB) uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur  AB  AC AB  (1) AC  (1) AB  AC  (2 1)cos60 1 所以当 3 8 的最大值为 .    注 ： AB  AC  BC  1 60° AB  AC | AB |  | AC | cos 60  = cos 60 = 1 2     2 2 2 2 1       时， BQ  CP 2 =  12 + 1 1   1 ( 1 )2  3 ， 0   1 2 8 小结： 将所求数量积转化为 已知模和夹角的向量的数量积，最后通过配方求最值， 体现的是转化思想和函数思想． 高中数学 3.数量积的应用 例 3 已知a, b 是单位向量, a  b  0 .若向量c 满足 c  a  b  1， 求|c| 的取值范围. 分析： | a |=| b |= 1， a b=0 (a  b)2  a2  2a  b  b2  2 | a  b | 2 再利用 c  a  b  1 , 即 c  a  b 2  c  a  b2 =1 来求解.  2a  b  b2  2 ，  2(a  b)  c  (a  b)2  1 即c2 得c2 解： 由| a || b | 1， a  b  0 可得(a  b)2  a2 所以 | a  b | 2 ，由| c  (a  b) | 1，得c2 所以 2 1 | c | 2 1 .  2 2 | c | 1  0 ， 即| c |2 2 2 | c | 1  0 | c |  2 2  1 a  b | a |  | b | 1  2(a  b)  c  2 | a  b |  | c | 2 2 | c | 本题的运算难点及突破方法： 需要利用a  b | a |  | b | 进行放缩，进而得到不等式， 求出了的| c | 的取值范围 【课堂小结】 求数量积的方法：定义法、转化法、投影法等. 求最值的方法：利用转化法、几何法、放缩法 求解向量中的最值问题. 课后作业：课本P23 10、11、12 18、19、20 谢 谢 观 看 $$