2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：直角三角形的存在性问题

直角三角形的存在性问题 【引入】按要求画图：在直线 l 上找一点 C 满足下列条件. ①满足∠BAC＝90° ②满足∠ABC＝90° ③满足∠ACB＝90° ①满足∠BAC＝90° ②满足∠ABC＝90° ③满足∠ACB＝90° 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－1，0)，B(0，3)， C(1，0)，过点 C 作直线 l⊥x 轴，点 D 为直线 l 上的一点，当△ABD 为直角三角形时，求点 D 的坐标. 【思路】 ABD ADB BAD 第一步：由于点 D 为动点，需分情况讨论，分别在下方画出图形： ①∠_____＝90° ②∠_____＝90° ③∠_____＝90° ↓ 第二步：根据直角，构造三垂直模型，用相似算出线段长度，进 而求出点 D 的坐标. 解：∵A(－1，0)，B(0，3)，C(1，0)， ∴AO＝CO＝1，BO＝3，AC＝2. 过点 B 作 BE⊥CD，垂足为点 E，∴E(1，3)，BE＝1，CE＝3， ①如图，当∠ABD＝90°时， ∠ABO＋∠OBD＝∠DBE＋∠OBD＝90°， ∴∠ABO＝∠DBE. ∵∠AOB＝∠DEB，∴△ABO∽△DBE， ②如图，当∠ADB＝90°时， 同理可得△ACD∽△DEB， ∴DE＝1 或 2， ∴D(1，1)或(1，2)； ③如图，当∠BAD＝90°时， 同理可得△AOB∽△DCA， 1.(2023·西宁)在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点 D 在 BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 ______________. 90°或 50 2.(2024·齐齐哈尔)已知在矩形纸片 ABCD 中，AB＝5，BC＝4，点 P 在边 BC 上，连接 AP，将△ABP 沿 AP 所在的直线折叠，点 B 的对 应点为 B′，把纸片展平，连接 BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时， 线段 CP 的长为________. 2 或 3 2 3.(2023·荔湾区一模)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2， BC＝4，CD 是△ABC 的中线，E 是边 BC 上一动点，将△BED 沿 ED 折叠，点 B 落在点 F 处，EF 交线段 CD 于点 G，当△DFG 是直角三 角形时，则 CE＝___________. 1.(2023·江西)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，BC＝2AB，将 AB 绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为____________________. 90°或 180°或 270° 2.(2023·河南)在矩形 ABCD 中，M 为对角线 BD 的中点，点 N 在 边 AD 上，且 AN＝AB＝1.当以点 D，M，N 为顶点的三角形是直角三 角形时，AD 的长为____________. 3.(2023·黑龙江)在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝9，将矩形 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在点 E 处，若△ADE 是直角三角形， 则点 E 到直线 BC 的距离是________________________. 4.(2024·增城区二模改编)已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1 的图 象为抛物线 C，一次函数 y＝kx＋6k(k≠0)的图象为直线 l. (1)求抛物线 C 的顶点坐标(用含 m 的式子表示)； 作垂直于 y 轴的直线与抛物线 C 有两个交点，其中在抛物线对称轴左 侧的交点记为点P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围. 解：(1)∵y＝x2－2mx＋m2－1＝(x－m)2－1， ∴抛物线 C 的顶点坐标为(m，－1). ＝3.令 y＝0，则 0＝2x＋3，解得 x＝－6， ∴A(－6，0)，B(0，3).令 x2－2mx＋m2－1＝3， ∴x＝－2＋m 或 x＝2＋m. ∵在抛物线对称轴左侧的点记为 P， ∴P(－2＋m，3). 当PA⊥AO时，此时P(－6，3)，此时△PAO是直角三角形， 当－2＋m＜－6，即m＜－4时，△PAO为钝角三角形. 当PO⊥AO时，P(0，3)，此时△PAO是直角三角形， 当－2＋m＞0时，即m＞2，此时△PAO为钝角三角形. ∵AO＝6，P(－2＋m，3)，点P到x轴的距离为3， ∴点P在以AO为直径的圆外或圆上， ∴∠APO始终为锐角或直角. 综上所述，当m＜－4或m＞2时，△PAO为钝角三角形. 5.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完 全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转， 来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3， BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°. 的值. 【初步感知】 (1)如图 1，连接 BD，CE，在纸片 ADE 绕点 A 旋转过程中，试探 究 BD CE 【深入探究】 (2)如图 2，在纸片 ADE 绕点 A 旋转过程中，当点 D 恰好落在 △ABC的中线 BM 的延长线上时，延长 ED 交 AC 于点 F，求 CF 的长. 【拓展延伸】 (3)在纸片 ADE 绕点 A 旋转过程中，试探究 C，D，E 三点能否构 成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形 CDE 的面积；若不能， 请说明理由. (2)连接 CE，延长 BM 交 CE 于点 Q，连接 AQ 交 EF 于点 P，延 长 EF 交 BC 于点 N，如图 1， 同(1)得△ADB∽△AEC， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵BM 是中线， 图 1 ∵∠ABD＋∠MBC＝90°， ∴∠ACE＋∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM. ∴∠MBC＝∠MCB. 又∵AM＝CM， ∴△BAM≌△QCM(AAS)， ∴BM＝QM， ∴四边形 ABCQ 是平行四边形. ∵∠ABC＝90° ∴四边形 ABCQ 是矩形， ∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN， ∴EQ＝CQ， ∴PQ 是△CEN 的中位线， ∵PQ∥CN， ∴△APF∽△CNF， (3)C，D，E 三点能构成直角三角形，理由如下： ①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图2， 图 2 ②当 AD 在 CA 的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE 是直角三角 形，如图 3， 图 3 图 4 ④当 DC⊥EC 时，△CDE 是直角三角形，过点 A 作 AQ⊥EC 于点 Q，交 DE 于点 N，如图 5， ∵DC⊥EC，AQ⊥EC，∴AQ∥DC， ∵AC＝AE，AQ⊥EC，∴EQ＝CQ， ∴NQ 是△CDE 的中位线， 图 5 ∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°， ∴∠DAN＝∠QEN，∴tan∠DAN＝tan∠QEN， $$