2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：与角度有关的问题-角度定值问题

与角度有关的问题-角度定值问题 类型 顶点固定 【思路】 等腰直角三角形 正方形 思考：45°可以联想到的图形有_______________，________. 第一步：当点 M 在 BC 上方时，过点 B 作 BD⊥CM，垂足为点 D， 则BCD 为__________三角形， 等腰直角 ↓ 第二步：构造三垂直模型， ↓ 第三步：根据全等，得到点 D 的坐标为(______，______)， ↓ 第四步：求出 CD 的解析式，算出 CD 与抛物线的交点坐标，即 为点 M 的坐标.当点 M 在 BC 下方时，同理可得. 解：如图，当点 M 在 BC 上方时，过点 B 作 BD⊥CM，垂足为点 D，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，过点 B 作 BE⊥DF 于点 E， ∴∠E＝∠BDC＝∠CFD＝90°，BE∥y 轴，EF∥x 轴， ∴∠CDF＋∠BDE＝∠DBE＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE， ∵∠BCM＝45°，∴∠CBD＝90°－∠BCM＝45°＝∠BCM， ∴CD＝BD，∴△BDE≌△DCF(AAS)，∴BE＝DF，DE＝CF， ∵B(3，0)，C(0，2)，∴EF＝OB＝3，OC＝2，BE＝OF， ∴BE－DE＝OF－CF＝OC＝2， BE＋DE＝DF＋DE＝EF＝3， 当点 M 在下方时，同理可得直线 CD 的解析式为 y＝－5x＋2， 【总结】 遇到此类一条边固定且角度为定值的角度问题，常常构造三垂直 模型进行求解.其中角度可以为具体的 30°，45°等，也可以是三角函 1.(2024·广安)如图，直线 y＝2x＋2 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A， B，将△AOB 绕点 A 逆时针方向旋转 90°得到△ACD，则点 D 的坐标 为__________. (－3，1) 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝2x－1 的图象分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45°，交 x轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是___________. 3.如图，抛物线 y＝x2－3x－4 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，已知点 Q(0，－1)，连接 BQ，抛物线上是 理由如下： ∵抛物线 y＝x2－3x－4 与 x 轴交于点 A，B 两点(点 A 在点 B 的左 侧)，与 y 轴交于 C 点， ∴当y＝0时，x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4， ∴A(－1，0)，B(4，0).当 x＝0 时，y＝－4， ∴C(0，－4). 当点 M 在 x 轴上方时，如图，设 BM 交 y 轴于点 K，过点 K 作 KH⊥BQ于点 H， 则∠KHQ＝∠KHB＝90°. 设 K(0，t)， ∵Q(0，－1)，B(4，0)， ∴OB＝4，OQ＝1，KQ＝t＋1. ∵∠BOQ＝90°，∴∠KHQ＝∠BOQ. ∵∠KQH＝∠BQO，∴△KQH∽△BQO， 当点 M 在 x 轴下方时，如图，过点 Q 作 QE⊥BQ，交BM于点E， 过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F，则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°， ∵∠OBQ＋∠BQO＝90°，∠BQO＋∠EQF＝90°， ∴∠OBQ＝∠EQF， ∴△QEF∽△BQO， 类型 定角定弦 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－3，0)，B(1，0)， P 为 y 轴正半轴上一点，当∠APB＝45°时，求点 P 的坐标. 【思路】 思考： (1)点 A，B 为定点，当∠APB＝90°时，点 P 在什么位置？请在 图1 中画出图形. (2)类似地，当∠APB＝45°时，点 P 在什么位置？请在图 2 中画 出图形. 图 1 ∠APB＝90°题图 图 2 ∠APB＝45°题图 第一步：以 AB为边，在上方构造等腰直角三角形ABC，且∠BAC ＝90°. ↓ 第二步：画出△ABC 的外接圆，并与 y 轴的正半轴交于点 P. ↓ 第三步：根据垂径定理，求出 OP 的长，并得到点 P 的坐标. 解：如图，过点 A 作 AC⊥x 轴，且 AC＝AB，连接 BC. ∵A(－3，0)，B(1，0)， ∴AB＝4， ∴C(－3，4)， 设点 M 为 BC 的中点，以点 M 为圆心，BC 为直径画圆，并与 y 轴交于点 P， ∴M(－1，2)，∠APB＝∠ACB＝45°， 连接 MP，过点 M 作 MN⊥y 轴，垂足为点 N， ∴N(0，2)，MN＝1， 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2－4ax＋4a＋c 与 x 轴交于 点 A，B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1，0)，OB＝OC. (1)求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线的对称轴上的点 M 满足∠AMC＝45°，求点 M 的 坐标. 绕原点 O 逆时针旋转 45°得到 N′，则点 N′的坐标为_______. (2，6) 1)，若将△OAB 绕 O 点，逆时针旋转 60°后，B 点到达 B′点，则点B′ 的坐标是____________. 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经 过点 A(－1，0)，B(0，－ )，C(2，0)，其对称轴与 x 轴交于点 D. (1)求二次函数的解析式及其顶点坐标； (2)点M(x，t)为抛物线对称轴上一动点，连接MA，MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围. 作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连接 EA，则∠AEB＝120°， 以点 E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F，G， 则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段 FG 上的点满足题意， 4.(2023·郴州改编)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴相交于点 A(1，0)，B(4，0)，与 y 轴相交于点 C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，取线段 OC 的中点 D，在抛物线上是否存在点 Q，使 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴相交于点 A(1，0)，B(4，0)， ∴抛物线的表达式为 y＝x2－5x＋4. (2)存在，理由如下： ∵点 D 为 OC 的中点， ∴D(0，2)， ∴OD＝2. ∵B(4，0)， ∴OB＝4. ∴∠QDB＝∠OBD. ①如图，当 Q 点在 D 点上方时，过点 D 作 DQ∥OB，交抛物线于 点 Q，则∠QDB＝∠OBD， 此时 Q 点纵坐标为 2. $$