2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：创新型问题-综合与实践

创新型问题-综合与实践 【例1】(2024·广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经 历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段. 小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图 形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC 中，点 D 为边 AB 上一点，连接 CD. (1)初步探究 如图 2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB； (2)尝试应用 如图 3，在(1)的条件下，若点 D 为 AB 中点，BC＝4，求CD的长； (3)创新提升 如图 4，点 E 为 CD 中点，连接 BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°， (2)由(1)得 AC ＝AD·AB，算出 　______，进而求出 CD 的 【思路】 (1)证明△________∽△________. 2 长. (3)由于∠ACD 与∠EBD 所在的三角形不相似，因此可以考虑构造 与图 2 类似的图形进行求解. ACD ABC (3)如图，作 BF⊥DC 交 DC 的延长线于点 F，则∠F＝90°， ∵点 E 为 CD 中点，∴CE＝DE， 设 CE＝DE＝n， ∵∠CDB＝∠CBD＝30°， ∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB＋∠CBD＝60°， (2024·河南)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用 已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相 等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. (1)操作判断 ②④ 用分别含有 30°和 45°角的直角三角形纸板拼出如图 1所示的4个 四边形，其中是邻等对补四边形的有________(填序号). (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角 线相关的性质： 如图 2，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，AB＝AD，AC 是它的 一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若 BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求 AC 的长(用含 m，n，θ的 式子表示). (3)拓展应用 如图 3，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边 BC，AC 上取点 M，N，使四边形 ABMN 是邻等对补四边形.当该邻等 对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 BN 的长. 解：(2)①∠ACD＝∠ACB， 理由：延长 CB 至点 E，使 BE＝DC，连接 AE，如图 1. ∵四边形 ABCD 是邻等对补四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°， ∵∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D，∵AB＝AD， 图 1 ∴△ABE≌△ADC(SAS)， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB； . 图 2 ∵四边形 ABMN 是邻等对补四边形，∴∠ANM＋∠B＝180°， ∴∠ANM＝90°，当 AB＝BM 时， 如图 3，连接 AM，过点 N 作 NH⊥BC 于点 H. 图 3 ∴AM2＝AB2＋BM2＝18， 在Rt△AMN中，MN2＝AM2－AN2＝18－AN2， 在Rt△CMN中，MN2＝CM2－CN2＝(4－3)2－(5－AN)2， 18－AN2＝(4－3)2－(5－AN)2， 当 AN＝AB 时，如图 4，连接 AM. 图 4 ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)， ∴BM＝NM，故不符合题意，舍去； 当 AN＝MN 时，如图 5，连接 AM，过点 N 作 NH⊥BC 于点 H. 图 5 ∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， 当 BM＝MN 时，如图 6，连接 AM， 图 6 ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)， ∴AN＝AB(不符合题意，舍去). 1.(2024·巴中)综合与实践 【操作与发现】(1)平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形， 拼接示意图如图 1、图 2.在图 2 中，四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD， E，F是AD，BC边上的点.经过剪拼，四边形GHJK为矩形.则 △EDK≌________. △EAG 【探究与证明】(2)将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形， 拼接示意图如图3、图4、图5.在图 5中，E，F，G，H 是四边形ABCD 边上的点.OJKL 是拼接之后形成的四边形. 1 ①通过操作得出：AE 与 EB 的比值为________； ②证明：四边形 OJKL 为平行四边形. ②如图. 由题意得E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL， ∵∠DAB＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB＋∠QAE＋∠PAH＋∠PAQ＝360°，∴∠PAQ＝∠C， ∵∠BFO＋∠CFO＝180°，∴∠AQL＋∠AQK＝180°，∴K，Q、L三点共线，同理K，P，J三点共线，由操作得∠1＝∠L，∠3＝∠J， ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠L＝180°，∠2＋∠J＝180°， ∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四边形OJKL为平行四边形. 【实践与应用】(3)任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若 能，请将四边形 ABCD 剪成 4 块，按图 5 的方式补全图 6，并简单说 明剪开和拼接过程.若不能，请说明理由. 如图，取 AB，BC，CD，DA 为中点为点 E，H，G，F，连接 FH， 过点 E，点 G 分别作 EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形 EBHM 绕点 E 旋转180°至四边形EAH′M′，将四边 形 FDGN 绕点F旋转 180°至四边形FAG ′N′，将四 边形 NGCH 放置左上方，使得点 C 与点 A 重合， CG 与 AG′重合，CH 与 AH′重合，点N的对应点为 点 N″，则四边形 MM′N″N′即为所求矩形. 由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M′＝90°， ∠GNH＝∠GNF＝∠N′＝90°， ∴∠N′＝∠M′MH＝90°，H′M′∥N′M，∴N′G′∥MM′， 由操作得∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠3＋∠4＝180°， ∴N″，H′，M′三点共线，同理 N′，G′，N″三点共线， ∵∠N′＝∠EMF＝∠M′＝90°，∴四边形 MM′N″N′为矩形， 如图，连接 AC，EF，FG，GH，EH， ∵点 E，H 为 BA，BC 中点， ∴FG∥EH，FG＝EH， ∴∠EHM＝∠GFN， ∵∠EMF＝∠GNH＝90°， ∴△EHM≌△GFN(AAS)， ∴EM＝GN，MH＝NF，∴FM＝NH， 由操作得 AH′＝BH，而 BH＝CH， ∴AH′＝CH，同理 AG′＝CG. ∵∠BAD＋∠D＋∠C＋∠B＝360°，∠D＝∠G′AF，∠B＝∠H′AE， ∠BAD＋∠H′AE＋∠G′AF＋∠H′AG′＝360°， ∴∠H′AG′＝∠C， ∵四边形 MM′N″N′为矩形， ∴N′N″＝MM′，N″M′＝N″M， ∴N′F＋FM＝H′M′＋H′N″， ∴MF＋NF＝MF＋MH＝M′H′＋N″H′， ∴NH＝N″H′， 同理 NG＝N″G′， ∴四边形 NGCH 能放置左上方， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形. 2.(2024·吉林)综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第 一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴 含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分 内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题. 【背景调查】 图 1 中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结 构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅 笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定 榫眼的位置，如图 2 所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美. 以对称轴为基准向两边各取 相同的长度 x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各 取相同的长度为 x(单位：mm)，凳面的宽度为 y(单位：mm)，记录如 下： 【分析数据】 如图 3，小组根据表中 x，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了 各点. 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在 同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条 直线上，说明理由； (2)当凳面宽度为 213 mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的 长度是多少？ 解：(1)它们在同一条直线上， 设 y＝kx＋b(k≠0)， 所以这条直线所对应的函数解析式为 y＝5x＋33. (2)当 y＝213 mm 时，213＝5x＋33， 解得 x＝36， 所以当凳面宽度为 213 mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同 的长度是 36 mm. $$