2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：创新型问题-新定义问题

创新型问题-新定义问题 类型 代数新定义 【例 1】(2023·绍兴)在平面直角坐标系 xOy 中，一个图形上的点 都在一边平行于 x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩 形称为该图形的关联矩形.例如： 如图，函数y＝(x－2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它 关联矩形恰好也是矩形 OABC，则 b＝____________. 【思路】 ↓ 第二步：根据对称轴的位置，分别画出不同情况下的函数大致图象， ↓ 第三步：分情况代入点坐标进行求解，并排除不符合题意的情况. －2b ＋3}，则该函数的最大值为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 C B 3.(2023·菏泽)若一个点的纵坐标是横坐标的 3 倍，则称这个点为 “三倍点”，如：A(1，3)，B(－2，－6)，C(0，0)等都是“三倍点”. 在－3＜x＜1 的范围内，若二次函数y＝－x2－x＋c 的图象上至少存在 ) 一个“三倍点”，则 c 的取值范围是( D 类型 几何新定义 【例 2】(2024·深圳)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形 中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边 形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行 四边形”. ＝2，则 AE＝________，AB＝________. 1 (2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由. (3)①如图3所示，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，点E为垂中点，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)； ②若△ABC关于直线AC对称得到△AB′C，连接CB′，作射线CB′交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值. 【思路】 (1)根据相似与勾股定理求解. (2)可以设 BE＝x，根据相似与勾股定理分别表示出两条边. (3)第一步：理解定义.如图 1，若四边形ABCD为垂中平行四边形， ⊥ 中 则 AC____BF，且点 F 为 AD 的____点. ↓ 第二步：构造图形. ①已知该垂中平行四边形必须以 BC 为边，点 A 在一条边上，因 此可以分成 3 种不同的情况：___________、_____________________、 ______________________.画出示意图. ②补全①的图形，根据相似与勾股定理进行求解. 点 A 为顶点 点 A 为 AB 所在边的中点 点 A 为 BC 对边的中点 (3)①作法一：如图所示，点 A 为顶点，作平行四边形 ABCH 即为 所求. 作法提示：过点 A 作 AH∥BC，过点 C 作 CH∥AB，两条直线交 于点 H 作法二：如图所示，点 A 为 AB 所在边的中点，平行四边形CBQH 即为所求， 作法提示：过点 C 作 CH∥AB，延长 BE 交 CH 于点 H，过点 H 作 HQ∥BC 交 BA 延长线于点 Q， 作法三：如图所示，点 A 为 BC 对边的中点，平行四边形 BCDF 即为所求. 作法提示：作 AD∥BC，交 BE 的延长线于点 D，连接 CD，作BC 的垂直平分线，在 DA 延长线上取点 F，使 AF＝AD，连接 BF. ②(Ⅰ)当垂中平行四边形是作法一时， 如图所示，作 PQ⊥AC. ∵△ABC 关于直线 AC 对称得到AB′C， ∴∠ACB＝∠ACP， ∵AH∥BC，∴∠PAC＝∠ACB， ∴∠ACP＝∠PAC，∴PA ＝PC， (Ⅱ)当垂中平行四边形是作法二时， 如图连接 PA ，延长 CA 交 HQ 延长线于点 G. 同理可得 PG＝PC， ∴PA 垂直平分 AC， 由题意知 AE＝6，EC＝12，B′E＝BE＝5， ∵BE⊥AC，∴△CPA∽△CB′E， (2023·南沙区一模)定义新概念：有一组邻边相等且它们的夹角是 直角的凸四边形叫做等腰直角四边形. (1)如图 1，在等腰直角四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝ 90°. ①若 CD＝3，AC⊥CD 于点 C，求 AD 的长； ②若 AD＝DC，∠ADC＝45°，求 BD 的长； (2)如图 2，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝15，点 P是对角线 BD 上的一点，且 BP＝2PD，过点 P 作直线分别交边 AD，BC 于点 E，F， 要使四边形 ABFE 是等腰直角四边形，求 AE 的长. 解：(1)①如图，连接 AC. ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ②如图，连接 BD，过点 C 作 CE⊥BC 交 BD 于点 E， ∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SSS)， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BDC＝∠ADB＝22.5°， (2)若 EF⊥BC，则四边形 ABFE 是矩形， ∴AE＝BF. ∵AD∥BC， ∵BP＝2PD，ED＋BF＝AD＝15， ∴AE＝BF＝10. ∵AB＝6， ∴AE≠AB≠BF. ∴四边形 ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件； 若 EF 与 BC 不垂直， ①当 AE＝AB 时，如图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， ∴AE＝AB＝6， ∵BP＝2PD，ED＝15－6＝9， ∴BF＝2ED＝18＞15， ∴此时点 F 在 BC 的延长线上，不合题意，舍去； ②当 BF＝AB 时，如图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， ∴BF＝AB＝6， ∵BP＝2PD，∴BF＝2DE， ∵BF＝6，∴DE＝3，∴AE＝15－3＝12， 综上所述，满足条件的 AE 的长为 12. 1.对于实数 a，b 定义新运算：a※b＝ab2－b，若关于 x 的方程 1※x＝k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围(　　) A 3.(2024·海珠区一模)我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三 角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为 1∶2，则原三角形叫做“友好三角形”. 是“友好三角形”. (2)如图 2，在 5×5 的网格图中，点 A，B 在格点上，请在图中画 出一个符合条件的“友好三角形”△ABC，要求点 C 在格点上. (3)如图 3，在(1)的条件中，作△ACD 的外接圆⊙O，点 E 是⊙O 上的一点，CE＝CA，连接 DE； ①设 AD＝x，AE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； ②当 CE∥AB 时，求⊙O 的半径. (2)解：“友好三角形”△ABC 如图所示， $$