2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：含参数的二次函数问题-定点问题

含参数的二次函数问题-定点问题 【问题介绍】 函数过定点是指某些函数在满足特定条件时，其图象会经过一个 固定的点.这种性质通常由函数解析式中的一些系数的取值特点所决 定.例如，正比例函数 y＝kx 始终经过原点，像这样，具有某种共同性 质的所有曲线的集合，称为一个曲线系. 【引入】 探究直线 y＝kx＋k＋2 的图象. (1)当 k＝1 时，在平面直角坐标系中画出 y＝kx＋k＋2 的图象； (2)当 k＝2 时，在平面直角坐标系中画出 y＝kx＋k＋2 的图象； (3)当 k＝－1 时，在平面直角坐标系中画出 y＝kx＋k＋2 的图象； (4)当 k＝－2 时，在平面直角坐标系中画出 y＝kx＋k＋2 的图象. 结论：无论 k 取何值时，直线 y＝kx＋k＋2 的图象始终经过点 (________，________)，即直线 y＝kx＋k＋2 的图象经过定点与 k 的取 值________. －1 2 无关 【拓展】 1.含参数类直线过定点. (0，1) (－1，－2) (1)直线 y＝kx＋1 过定点___________； (2)直线 y＝kx＋k－2 过定点___________； (3)直线 y＝kx－x＋k－2 过定点__________；当 k＝________时， 原点到它的距离最大为________. (－1，－1) 0 (0，－2) (0，0)和(2，0) (－1，0)和(3，0) (－1，1)和(3，1) 【例 1】已知抛物线 y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m 与 x 轴相交于不 同的两点 A，B. (1)求 m 的取值范围； (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐 标. 【思路】 (1)抛物线 y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m 与 x 轴相交于不同的两点， 则________≠0 且_______＞0； m Δ m (2)思 考：抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P， 则该点坐标与 ________无关？ 第一步：变形，合并含 m 的项，y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝ m(x2－2x－3)＋x＋1 ___________________， ↓ x2－2x－3 3 －1 第二步：令 m 的系数为 0，即_____________＝0，解得 x1＝____， x2＝________， ↓ 第三步：求出定点 P 的坐标. 解：(1)令 mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝0， ∵Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4×m×(1－3m)＝(1－4m)2＞0， (2)∵抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m， ∴y＝m(x2－2x－3)＋x＋1， 抛物线过定点说明在这一点y与m无关， 当x2－2x－3＝0时，y与m无关，解得x1＝3，x2＝－1， 当x＝3时，y＝4，定点坐标为(3，4)； 当x＝－1时，y＝0，定点坐标为(－1，0)， ∵P不在坐标轴上，∴P(3，4). 1.已知抛物线 y＝x2－(m＋1)x＋2m＋3.该抛物线恒过定点 __________，其顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时， 此时顶点坐标为_________. (2，5) (2，5) 2.(2022·成都改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx－ 3(k≠0)与抛物线 y＝－x2 相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 B 关于 y 轴的对称点为 B′.试探究直线 AB′是否经过某一定点.若是，请求 出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 1.(2024·成都改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L：y ＝ax2－2ax－3a(a＞0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，其 顶点为点 C，点 D 是抛物线第四象限上一点.延长 CD 交 x 轴于点 E， 当 AD＝DE 时，将△ADB 沿 DE 方向平移得到△A′EB′.将抛物线 L 平 移得到抛物线 L′，使得点 A′，B′都落在抛物线 L′上.试判断抛物线 L′与 L 是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 解：抛物线 L′与 L 交于定点，理由如下： 如图，过点D作DM⊥x轴于点M. 设D(m，am2－2am－3a)， 则AM＝m＋1，DM＝－am2＋2am＋3a， ∵AD＝DE，∴EM＝AM＝m＋1， 将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′，相当于将△ADB向右平移(m＋1)个单位长度，再向上平移|m2－2am－3a|个单位长度， 又∵A(－1，0)，B(3，0)， ∴A′(m，－am2＋2am＋3a)，B′(m＋4，－am2＋2am＋3a)， 设抛物线L′解析式为y＝ax2＋bx＋c(a＞0)， 2.(2023·湖南改编)如图，已知抛物线 y＝ax2－2ax＋3 与 x 轴交于 点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 B，C 两点作直线. (1)求 a 的值； (2)将直线 BC 向下平移 m(m>0)个单位长度，交抛物线于 B′，C′两 点.在直线 B′C′上方的抛物线上是否存在定点 D，无论 m 取何值时，都 是点 D 到直线 B′C′的距离最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存 在，请说明理由. 如图，设 D(t，－t2＋2t＋3)，过点 D 作 DE∥y 轴交 B′C′于点 E， 作 DF⊥B′C′于点 F， ∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，即△DEF 是等腰直角三角形. 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b，代入 B(3，0)，C(0，3)， 故直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3. 3.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx－8 与 x 轴 交于 A(－4，0)，B(2，0)两点，与 y 轴交于点 C. 上总存在一点 E，使得∠MEN 为直角. (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； $$