2025年中考数学二轮压轴题型突破课件：含参数的二次函数问题- 定值问题

含参数的二次函数问题- 定值问题 【问题介绍】 定值问题在数学中，是一个常见的题型.在一个变化过程中，某个 量的值保持不变的情况.定值问题多涉及函数思想、方程思想、转化与 化归思想等.如二次函数中的参数变化，但函数值或某些表达式的值保 持不变等.解题时常常确定一个变量为核心变量，接着用核心变量表示 其他量，再得出所求的量为定值. c＋3 c＋1 2 例如，抛物线 y＝－x2＋2x＋c＋3 与 y 轴交于点A，直线 y＝2x＋c ＋1 与 y 轴交于点 B，则点 A 的坐标为 A(0，__________)，点 B 的坐 标为 B(0，__________)，AB＝______.点 A 与 B 的坐标随着 c 的变化 而变化，但 AB 的长始终保持不变. 【例 1】已知二次函数 y＝－x2＋c 的图象经过点 A(－2，5)，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点. (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，此二次函数的图象与 x 轴的正半轴交于点 B，点 P 在直线 AB 的上方，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C， 交 AB 于点 D，连接 AC，DQ，PQ.若 x2＝x1＋3，求证： 【思路】 (1)待定系数法，把点 A 的坐标代入 y＝－x2＋c 求解. (2)第一步：确定核心变量为 x1，则 y1＝________， ↓ x1 x1＋3 第二步：由点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图像上的两个 动点表示出其他点的坐标，C(____，___)，Q(______，____________)， D(______，___________)， ↓ x1 －x1＋3 0 －(x1＋3)2＋9 第三步：用核心变量 x1 表示其他量，CD＝__________，PD＝ ______________， ↓ 第四步： －x1＋3 于点 B(c，d).当点 A 在抛物线上运动的过程中(点 A 不与坐标原点 O 重 合)，以下结论：①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值； ④直线 AB 必过一定点.正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 C 2.如图，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)(其中 a，m是常数，且a>0， m>0)的图象与 x 轴分别交于点 A，B(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴交 于点 C(0，－3)，点 D 在二次函数的图象上，CD∥AB，连接 AD，过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分∠DAE. (1)用含 m 的代数式表示 a； (2)证明：如图，过点 D，E 分别作 x 轴的垂线，垂足为点 M，N. 由 a(x2－2mx－3m2)＝0，解得 x1＝－m，x2＝3m， ∴A(－m，0)，B(3m，0)， ∵CD∥AB，∴点 D 的坐标为(2m，－3)， 1.已知二次函数 y＝mx2－(2m＋1)x＋1(m 为常数，m≠0).不论 m 为 何值，下列说法： ①该二次函数的图象的对称轴都不变； ②该二次函数的图象与 x 轴总有两个公共点； ③该二次函数的图象必经过两个定点； ④该二次函数的图象的顶点纵坐标为定值. 其中正确的有________(填序号). ②③ 2.已知抛物线 y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1 (1)若该抛物线经过点 P(1，4)，试求 m 的值及抛物线的顶点坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标(用含 m 的代数式表示)，并证明：不论 m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线 l 上； (3)直线 l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个 定值；若不是，请说明理由. 3.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 点 C，顶点为点 D，其中 A(－3，0)，D(－1，－4). (1)求抛物线的函数表达式； $$