基本不等式 分层作业-2025届高三数学一轮复习

1-4 基本不等式 分层作业 一、单项选择题 1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 2．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知a>0，b>0，且，则的最小值是(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 5．已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 7．若正实数满足，则的（    ） A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8 8.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 二、多项选择题 9．(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 10．已知正数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11.（2024·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 三、填空题 12．若x<2，则x＋的最大值为________． 13．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 14．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 一、单项选择题 1．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 3．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－4 B．4 C．5 D．8 4．“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是(　　) A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2 5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 6．已知，则m，n不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 8.已知x＞0，y＞0，满足x2＋2xy－2＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则(　　) A．x(x＋2y)的最大值为4 B．log2x＋log2y的最大值为0 C．2x＋2y的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 10．已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11.（2024·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，则的最小值为 ． 13．非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 14．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-4 基本不等式 分层作业 一、单项选择题 1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 【答案】B【解析】m>0，n>0，故m＋n≥2=18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 2．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 【答案】D【解析】由题意得a>0，b>0，＋＝1， 故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 故4a＋9b的最小值是25. 3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【解析】＋＝5，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝5， 当且仅当＝且x＋3y＝5xy，即x＝1，y＝时取等号．故3x＋4y的最小值为5. 4．已知a>0，b>0，且，则的最小值是(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B【解析】＝( ，当且仅当且，即时取等号， 故的最小值是24. 5．已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当且时，即时，等号成立，所以的最小值为；故选：D. 6．若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C【解析】因为，所以．因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C 7．若正实数满足，则的（    ） A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8 【答案】B【解析】因为正实数满足，所以， 当且仅当，即取等号，所以的最小值为9，无最大值；故选：B 8.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 【答案】D【解析】由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2. 二、多项选择题 9．(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 【答案】BC【解析】ab≤≤(a，b∈R)， 由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1可变形为＋y2＝1， 设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ， 因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin∈，所以D错误． 10．已知正数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD【解析】对于A，，所以，，当且仅当时等号成立， 但此时，，与题意不符，故A错误； 对于B，，解得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由，可得，所以，， 当时，此时，，所以，的最小值为，故D正确；故选：BCD 11.（2024·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABC【解析】对于A，因为，，， 则，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确； 对于C，，当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，，故，当且仅当时取等号， 即的最大值，故D错误．故选：ABC. 三、填空题 12．若x<2，则x＋的最大值为________． 【答案】【解析】x＋＝x－2＋＋2，由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋≥2＝6，当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－(2－x＋)≤－6，故x＋＝x－2＋＋2≤－4，所以x＋的最大值为－4. 13．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 【答案】【解析】因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)，令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立．故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 14．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 【答案】【解析】因为a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0， 又a＋b＝5，所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1， 所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]·＝ ≥＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为. 一、单项选择题 1．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D【解析】对求导得，由得，则，即， 所以，当且仅当时取等号．故选：D． 2．若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2；故选：C 3．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－4 B．4 C．5 D．8 【答案】C【解析】由的解集为， 则，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，；函数在上单调递增， 所以；所以的最小值为5；故选：C 4．“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是(　　) A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2 【答案】D【解析】已知∀x∈(1,4]，由不等式x2－mx＋m>0恒成立，得>m恒成立， 因为＝＝x－1＋＋2≥＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号，所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要条件． 5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为x>0，y>0，x＋3y＝1， 则＝＋＝(x＋3y)＝＋＋10≥2＋10＝16， 当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，所以0<≤，即的最大值为. 6．已知，则m，n不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，即. 对于 A， 成立. 对于 B， ，成立. 对于 C， ，即.故C错误； 对于 D， 成立；故选：C. 7．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B【解析】由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且a＋2b＝1， 即a＝b＝时取等号，也即2x－y＝，x＋2y＝，即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 8.已知x＞0，y＞0，满足x2＋2xy－2＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B【解析】由x2＋2xy－2＝0，可得y＝，因为x＞0，y＞0，可得＞0，解得0＜x＜， 则2x＋y＝2x＋＝＝≥×2＝，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值为. 二、多项选择题 9．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则(　　) A．x(x＋2y)的最大值为4 B．log2x＋log2y的最大值为0 C．2x＋2y的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 【答案】BCD【解析】由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0<x<2,0<y<2， x(x＋2y)＝(x＋y－y)(x＋y＋y)＝(x＋y)2－y2＝4－y2， 由0<y2<4可得0<4－y2<4，所以x(x＋2y)无最大值，故A错误； 由x＋y＝2≥2，得0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以log2x＋log2y＝log2xy≤log21＝0，故B正确； 由基本不等式可得2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确； ＋＝(x＋y)＝≥＝＋， 当且仅当x＝2－2，y＝4－2时取等号，故D正确． 10．已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC【解析】A选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，故恒成立，C正确； D选项，a是正实数，故，其中，故， 当且仅当，即时，等号成立，D错误；故选：AC 11.（2024·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【解析】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确，故选：BC． 三、填空题 12．若，则的最小值为 ． 【答案】【解析】，， 当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为；故答案为：. 13．非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】0【解析】当时，；当x，时，由得， 所以（当且仅当,即 时，等号成立）． 所以的最小值为0；故答案为：. 14．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 【答案】【解析】因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)，令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立．故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$