4基本不等式 讲义-2025届高三数学一轮复习

1-4 基本不等式 讲义 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 拓展常用不等式链： 1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 2.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 二、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)(a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 三、利用基本不等式求最值 2．基本不等式与最值：已知x，y都是正数， 1.已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. 2.已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 3.利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式． (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法． 考点一 直接利用基本不等式求最值 【例1-1】（22-23高一下·黑龙江佳木斯）设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解. 【解】∵；∴，（当且仅当，取“=”）；故选：C. 【例1-2】（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，可得，即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出，所以“”是“”的必要不充分条件；故选：. 【例1-3】(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A． B．2x＋2－x C． D. 【答案】BC【解】选项A中，当x<0时，函数y＝单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立， 但此方程无实数解，不符合题意．故选BC. 思维升华　1.对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正二定三等； 一正：符合基本不等式成立的前提条件为a>0，b>0； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方.　 如：等； 2.基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤ (a，b∈R)，常用于求积的最大值； 1.（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确． 【解】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误；故选：B 2.(2021·全国乙卷·高考真题)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝ D．y＝ln x＋ 【答案】B【解】对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号，由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立，故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故B错误； y＝＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故C正确； 对y＝ln x＋，由于ln x可能小于0，即y＝ln x＋可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误． 【点睛】关键基本不等式的使用条件，明确“一正二定三等”的意义，再结合函数性质即可解出． 3.已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 【答案】C【解】函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2，∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故y＝－＋2≤－4＋2，则y的最大值为2－4. 4.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 【答案】C【解】，（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为，故选C. 考点二 配凑法求最值 【例2-1】（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D【分析】由基本不等式即可求解. 【解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故选:D 【例2-2】当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 【答案】8【解】y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立，所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 【例2-3】若函数在处取最小值，则 ． 【答案】4【分析】利用配凑法可得，结合基本不等式计算即可求解. 【解】， 当且仅当即时取等号，即时取最小值，故．故答案为：4 思维升华　配凑法求最值，实质就是先通过变形配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解． 常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：； 2.对勾添加常数型：对于形如：的式子，设，则化为： (不必记忆，解题时根据式子结构转化即可) 1.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 【答案】D【解】∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥＋2＝6 (当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号)，∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 2.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B【解】当时，，等号成立当且仅当.故选：B. 3.（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B【解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B． 4.已知x<0，则的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 【答案】D【解】因为x<0，则1－x>1，－1≥2－1＝2－1， 当且仅当，即x＝1－时取等号，所以的最小值为2－1. 5.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 【答案】C【解】因为正数x，y满足x＋2y＝2，所以xy＝x·≤＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号，所以xy的最大值为. 6.（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】，且,为非负实数，，则 则，解得，，解得， ， 当且仅当即，时,即时等号成立，故， 故选：B. 7.已知，且，则的最小值为_________． 【答案】【解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立．故答案为： 考点三 常数代换法求最值 【例3-1】(2025届甘肃省武威市凉州区高三一模T5)若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解】由正数，满足，得， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B 【例3-2】已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【解】因为非负实数a，b满足a＋b＝1，所以(a＋1)＋(b＋2)＝4，所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝≥＝1. 当且仅当即时取等号．综上，的最小值为1. 【例3-3】(2025届山东省部分学校高三上开学联考T5)两正数x，y满足，且有解，则实数m取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B【分析】求得的最小值，把有解，转化为不等式，即可求解. 【解】由已知得，则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或；故选：B. 思维升华　常数代换法关键是通过代数式的变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：的式子，两边同除以得：，即可用常数代换法。 1.若m>0，n>0且m＋n＝2，则的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. 【答案】D【解】因为m>0，n>0且m＋n＝2， ＋＝(m＋n)＝≥＝， 当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立． 2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试T5)已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即，则 因为，且，所以，所以， 当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D. 3.已知a>，b>，且2a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 【答案】C【解】由已知得:(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则＝[(4a－1)＋(2b－1)]·＝≥2， 当且仅当，即a＝，b＝1时，等号成立． 4.(2025山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断T3) 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解】由正数，满足，得， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B 5.(2025届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三8月联考T6)已知实数a，b满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据题意结合和运算求解. 【解】因为，即，且， 即，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，， 所以的取值范围是；故选：C. 6.（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值. 【解】由题可知，乘“”得， 当且仅当时，取等号，则的最小值为；故选：A 考点四 构造不等式法求最值 【例4-1】【2022新高考2卷T12】(多选题)若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号， 所以C正确； 因为变形可得，设， 所以， 因此， 所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC． 【例4-2】（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值. 【解】，， 当且仅当时等号成立；，解得， 所以当且仅当时，的最小值是；故选：C 【例4-3】已知正数满足，则的最大值是 . 【答案】【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案. 【解】令，因为，，所以；则， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得，故答案为：. 思维升华　若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． 1.若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A【解】因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 2.若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 【答案】D【解】方法一　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤，所以x＋y≤，解得x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 方法二　由已知得x＋y＝2xy，所以＋＝2，则x＋y＝(x＋y)＝＝2， 当且仅当即时，等号成立． 3.(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 【答案】AD【解】x＋2y＝1≥2，即xy≤＝ (当且仅当,即时取等号)，A正确；当x＝，y＝时，＝>，故B错误； ＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当时取等号)，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确． 1.(2024·北京·高考真题)已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于AB：可得，即， 所以，故B正确，A错误； 对于D：如，则，可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误；故选：B. 2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C【分析】椭圆定义得，由即可得到答案． 【解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C． 3.（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【解】，，当且仅当且， 即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 4．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 故D正确；故选：ABD 5．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立；故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 6．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 【答案】【分析】由已知可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【解】∵；∴且；∴， 当且仅当，即时取等号；∴的最小值为；故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-4 基本不等式 讲义 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 拓展常用不等式链： 1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 2.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 二、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)(a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 三、利用基本不等式求最值 2．基本不等式与最值：已知x，y都是正数， 1.已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. 2.已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 3.利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式． (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法． 考点一 直接利用基本不等式求最值 【例1-1】（22-23高一下·黑龙江佳木斯）设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【例1-2】（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A． B．2x＋2－x C． D. 思维升华　1.对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正二定三等； 一正：符合基本不等式成立的前提条件为a>0，b>0； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方.　 如：等； 2.基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤ (a，b∈R)，常用于求积的最大值； 1.（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 2.(2021·全国乙卷·高考真题)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝ D．y＝ln x＋ 3.已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 4.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 考点二 配凑法求最值 【例2-1】（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【例2-2】当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 【例2-3】若函数在处取最小值，则 ． 思维升华　配凑法求最值，实质就是先通过变形配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解． 常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：； 2.对勾添加常数型：对于形如：的式子，设，则化为： (不必记忆，解题时根据式子结构转化即可) 1.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 2.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 3.（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 4.已知x<0，则的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 5.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 6.（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知，且，则的最小值为_________． 考点三 常数代换法求最值 【例3-1】(2025届甘肃省武威市凉州区高三一模T5)若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【例3-2】已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【例3-3】(2025届山东省部分学校高三上开学联考T5)两正数x，y满足，且有解，则实数m取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 思维升华　常数代换法关键是通过代数式的变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：的式子，两边同除以得：，即可用常数代换法。 1.若m>0，n>0且m＋n＝2，则的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. 2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试T5)已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 3.已知a>，b>，且2a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 4.(2025山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断T3) 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5.(2025届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三8月联考T6)已知实数a，b满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点四 构造不等式法求最值 【例4-1】【2022新高考2卷T12】(多选题)若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【例4-3】已知正数满足，则的最大值是 . 思维升华　若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． 1.若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 2.若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 3.(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 1.(2024·北京·高考真题)已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 3.（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 4．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 6．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$