常用逻辑用语 讲义-2025届高三数学一轮复习

1-2 常用逻辑用语 讲义 一、充分条件、必要条件与充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若且，则是的充分不必要条件； 3.若且，则是的必要不充分条件； 4.若，则是的充要条件； 5.若且，则是的既不充分也不必要条件. (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件； 2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件； 3.若是的充要条件是的充要条件； 4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 1.若，则是的充分条件； 2.若，则是的必要条件； 3.若，则是的充分不必要条件； 4.若，则是的必要不充分条件； 5.若，则是的充要条件； 6.若且，则是的既不充分也不必要条件. (四)注意两种结构 1.若是的充分不必要条件且（标志性词：“是”，此时与正常顺序） 2.若的充分不必要条件是且（标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 二、全称量词与存在量词 (一)概念： 1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定（高频考点） (1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p：∀x∈M，p(x). (2)全称量词命题的否定：p：∃x0∈M，p(x0). 2.存在量词命题及其否定（高频考点） (1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p：∃x0∈M，p(x0). (2)存在量词命题的否定：p：∀x∈M，p(x). (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 考点一 充分、必要条件的判定 【例1-1】“x2－x＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解】x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，则x2－x＝0不能推出x＝1， x＝1可推出x2－x＝0，故“x2－x＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 【例1-2】(2023·北京·高考真题)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以；所以“”是“”的充要条件. 解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即，即，所以. 所以必要性成立；所以“”是“”的充要条件. 解法三：充分性：因为，且，所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以， 故，即，，必要性成立；所以“”是“”的充要条件；故选：C 【例1-3】(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 【答案】AB【解】由≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故AB正确． 思维升华　充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 1.(2024·天津·高考真题)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【解】和都当且仅当，所以互为充要条件；故选：C. 2.在△ABC中，“A为锐角”是“sin A>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解】△ABC中，由“A为锐角”易得“sin A>0”，∴“A为锐角”是“sin A>0”的充分条件； 由“sin A>0”，不能得出“A为锐角”(如sin A＝1>0，A为直角，实际上，当A∈(0，π)时，sin A>0恒成立)， ∴“A为锐角”不是“sin A>0”的必要条件；综上所述，“A为锐角”是“sin A>0”的充分不必要条件． 3.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解】对A，当时，则，所以，得或，必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误；故选：C. 4.（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【解】因为，可得，即，可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B. 5.当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件． 考点二 充分、必要条件的应用 【例2-1】（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【解】， 因为的充分条件是，所以，则，故选：B. 【例2-2】在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 1.已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_________． 【答案】(1，＋∞)【解】由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1. 2.已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到横线处，并解答下列问题：若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}． (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m， 即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， m的取值范围是0<m≤3. 考点三 全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 【例3-1】(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称命题 B．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” C．∃x∈R，ex<ex＋1 D．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” 【答案】ACD【解】对A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称命题，故A正确； 对于B，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． 对于C，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于D，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 【例3-2】写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：_____________________. 【答案】至少有一个实数是无理数【解】由全称命题的否定可知答案为：至少有一个实数是无理数 命题点2　含量词的命题的真假判断 【例3-3】(2024新高考II卷T2)已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B【解】对于，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题；故选：B. 【例3-4】(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 【答案】ACD【解】指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确． 命题点3　含量词的命题的应用 【例3-5】若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 【答案】B【解】由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]． 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 1．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 【答案】D【分析】对于命题：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断. 【解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为， 且，则，所以，，即命题为真命题； 对于命题：因为，所以方程无解，即命题为假命题；故选：D. 2．命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D【解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 3．命题“且的否定形式是（ ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】D【解】否定形式是或；故选D. 4．设命题，则为 A． B． C． D． 【答案】C【解】由定义，命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 5．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C【解】由定义可知，命题的否定为：， 6.下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 【答案】C【解】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误； 对B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确； 对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝＋≥>0，故D错误． 7.若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 【答案】【解】命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－，即实数a的取值范围为. 8.(多选)．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 【答案】AC【解】当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题； 当x＝时，,所以，故D为假命题． 9.(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】ABC【解】命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项． 题型一 全称命题与存在命题 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B【分析】可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题；故选：B. 2．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 【答案】D【分析】本题可通过、、、、得出结果. 【解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误； C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D. 3．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D【解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 4．（2015·浙江·高考真题）命题“且的否定形式是（ ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】D【解】否定形式是或；故选D. 5．（2015·全国·高考真题）设命题，则为 A． B． C． D． 【答案】C【解】由定义，命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 6．（2015·湖北·高考真题）命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C【解】由定义可知，命题的否定为：， 题型二 充分条件与必要条件 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解】对A，当时，，所以，解得或，必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误；故选：C. 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解】和都当且仅当，所以二者互为充要条件；故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【解】因为，可得，即，可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件；故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】解法一：由化简得到即可判断； 解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可； 解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【解】解法一：因为，且，所以，即，即， 所以；所以“”是“”的充要条件. 解法二：充分性：因为，且，所以，所以，充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即，即， 所以；所以必要性成立；所以“”是“”的充要条件. 解法三：充分性：因为，且， 所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，所以， 所以，所以，所以必要性成立；所以是充要条件；故选：C 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【解】当时，例如但， 即推不出；当时，， 即能推出；综上可知，甲是乙的必要不充分条件；故选：B 6．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件；故选：B 7．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件；故选：C 8．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件；故选：A. 9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件；故选：C. 10．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的， 则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-2 常用逻辑用语 讲义 一、充分条件、必要条件与充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若且，则是的充分不必要条件； 3.若且，则是的必要不充分条件； 4.若，则是的充要条件； 5.若且，则是的既不充分也不必要条件. (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件； 2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件； 3.若是的充要条件是的充要条件； 4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 1.若，则是的充分条件； 2.若，则是的必要条件； 3.若，则是的充分不必要条件； 4.若，则是的必要不充分条件； 5.若，则是的充要条件； 6.若且，则是的既不充分也不必要条件. (四)注意两种结构 1.若是的充分不必要条件且（标志性词：“是”，此时与正常顺序） 2.若的充分不必要条件是且（标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 二、全称量词与存在量词 (一)概念： 1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定（高频考点） (1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p：∀x∈M，p(x). (2)全称量词命题的否定：p：∃x0∈M，p(x0). 2.存在量词命题及其否定（高频考点） (1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p：∃x0∈M，p(x0). (2)存在量词命题的否定：p：∀x∈M，p(x). (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 考点一 充分、必要条件的判定 【例1-1】“x2－x＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】(2023·北京·高考真题)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 思维升华　充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 1.(2024·天津·高考真题)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.在△ABC中，“A为锐角”是“sin A>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4.（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 充分、必要条件的应用 【例2-1】（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 1.已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_________． 2.已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到横线处，并解答下列问题：若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点三 全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 【例3-1】(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称命题 B．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” C．∃x∈R，ex<ex＋1 D．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” 【例3-2】写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：_____________________. 命题点2　含量词的命题的真假判断 【例3-3】(2024新高考II卷T2)已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【例3-4】(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 命题点3　含量词的命题的应用 【例3-5】若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 1．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 2．命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 3．命题“且的否定形式是（ ） A．且 B．或 C．且 D．或 4．设命题，则为 A． B． C． D． 5．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 6.下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 7.若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 8.(多选)．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 9.(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 题型一 全称命题与存在命题 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 3．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 4．（2015·浙江·高考真题）命题“且的否定形式是（ ） A．且 B．或 C．且 D．或 5．（2015·全国·高考真题）设命题，则为 A． B． C． D． 6．（2015·湖北·高考真题）命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 题型二 充分条件与必要条件 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$