6.2.3 向量的数乘运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 学习目标与任务 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算 及运算规则，理解其几何意义. 2.理解两个平面向量共线的含义. 重点难点 向量数乘运算； 两个平面向量共线的含义 O A B a a a a C P Q a  a  a N M  AB  BC  a  a  a ，记为： 3 a 即 OC  3 a . 3 倍， a 的方向相同， 3 a 的长度是 a 的长度的 如图， OC  OA 显然 3 a 的方向与 | 3 a |  3 | a | . 3 a  MN  (  a )  (  a )  (  a ) ，记为： 由图知， PN  PQ  QM 即 PN   3 a .显然 3 a 的方向与 a 的方向相反， |  3 a |  3 | a | . 探究：已知非零向量 a ，作出：a  a  a 和(a)  (a)  (a) . 它们的长度和方向分别是怎样的？ 一般地，实数与向量  的积是一个向量，记作 a a 它的长度与方向规定如下 || a |   (1) | a |  |  (2) 当 0 时， 的方向与 的方向相同 a a 当 0 时，  的方向与 的方向相反； a a 当 0 时，   . a 0 高中数学 思考：（3 2a）与6a之间的联系 a 2a 3(2a) 6a 3(2a)  6a (a )  ()a 高中数学 a 思考：(2  3)a与2a  3a的联系 5a (2  3)a  2a  3a 2a 3a ( )a  a  a 高中数学 b   a b 思考：2(a  b)与2a  2b的联系 2(a b)  2b 2(a  b)  2a  2b (a  b )  a  b   a 2a 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的： 设 、为实数，则 (1) (a)  ()a (2) ( )a  a  a (结合律 ) (第一分配律) (3) (a  b)  a  b . (第二分配律) 高中数学 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量，对于任意向量a, b 以及任意实数，，，21 恒有 1 a  2 b 1 a  2 b a  a  a; a  b a b. 特别地，我们有 例5 计算 (1) (3)  4a ； (2) 3(a  b)  2(a  b)  a ； (3) (2a  3b  c)  (3a  2b  c) . 解 (1) (3)  4a  (3  4)a  12a ； (2) 原式  3a  3b  2a  2b  a  5b； (3) 原式  2a  3b  c  3a  2b  c  a  5b  2c . 2 2 2 2 2 2 2 2 MB  1 DB  1 a  b 1 a  1 b MA   1 AC   1 a  b  1 a  1 b 解：在平行四边形ABCD中，AC  AB  AD  a  b DB  AB  AD  a  b 由平行四边形的两条对角线互相平分得                 MA、MB、MC 和MD 例 6 如图，平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M,且 AB  a, AD  b ，用 a、b来 表示 A D B M C b a MC  1 AC  1 a  1 b 2 2 2 MD   1 DB   1 a  1 b 2 2 2 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数 与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线 事实上，对于向量aa  0, b，如果有一个实数，使b  a 那么由向量数乘的定义可知a与b共线。 反过来，已知向量a与b共线，且向量b 的长度是向量a 的长度 的倍，即b  a , 那么当a与b同向时，有b  a;当a与b反向时 有b  a 综上，我们有如下定理： 向量aa  0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数， 使b  a 根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直线 l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数，使b  a。 也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上 的一个非零向量表示。               例7.如图，已知任意两个非零向量 a、b ，试作 OA  a  b, OB  a  2b, OC  a  3b. 猜想A、B、C三点之间的位置 关系，并证明你的猜想。 a  b  分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线， 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上，在本题 中，应用向量知识判断A, B, C三点是否共线，可以通过判断向 量AC, AB是否共线，即是否存在，使AC  AB成立。 a  b  2b  3b  A B C O 解：分别作向量OA, OB, OC, 过 点A, C作直线AC，观察发现， 不论向量a, b怎样变化，点B 始终在直线AC上，猜想A, B, C三点共线。 事实上，因为 所以AC  2 AB. 因此，A, B, C三点共线。 AB  OB  OA  a  2b  a  b b, AC  OC  OA  a  3b  a  b 2b, 1 a  3 b共线 2 2 例8 已知a，b是两个不共线的向量，向量b  ta, 求实数t的值.         2  2 2  2   b  ta   1 a  3 b , 即t  1 a   3 1b 解：由a, b不共线，易知向量1 a  3 b为非零向量，由向量 2 2 b  ta, 1 a  3 b共线，可知存在实数，使得 2 2 b，由两个向量共线的充要条件知 2 a, b共线，与已知矛盾。 2 t  1  t  1  0，则a  2 由a, b不共线，必有t  1  3 1  0.否则，不妨设 2 2 3 1 2 2 1 3 3 1 1   2 t  1 . 3 解得t  ，因此，当向量b  ta， a  b共线时， 由 3  1  0 t  2  0 小结 向量的数乘运算律； 两个平面向量共线的含义及应用 作业布置 课本P15+P16页练习 高中数学 祝同学们健康快乐！ $$