第三章 函数的概念与性质 章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年郑州市中牟高中高一上学期数学 第三章　函数的概念与性质章末检测 测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f＝＋的定义域为(　　) A． B．∪ C．∪ D． 2．已知函数f＝，则f＝(　　) A．6 B．4 C．2 D．0 3．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋，且f(－1)＝4，则m＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－6 4． “实数a＝－1”是“函数f＝x2＋2ax－3在上具有单调性”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，记a＝f，b＝f，c＝f(－t2＋t－1)，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c 6．某市一天内的气温Q(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C表示时间段内的温差(即时间段内最高温度与最低温度的差)，C与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是(　　) 7．设二次函数f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2在R上有最大值，最大值为m(a)，当m(a)取最小值时，a的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．1 C． D．4 8．设函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，满足f(2x)＝2f(x)，且当x∈(1，2]时，f(x)＝(x－1)(x－2)，若对任意x∈(1，m]，都有f(x)≥－1，则m的取值范围是(　　) A．(1，6－] B．(1，6＋] C．(1，12－2] D．(1，12＋2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．下列各组函数不是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝x B．y＝与y＝x－1 C．y＝与y＝x D．y＝与y＝1 10．函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(　　) A．函数D(x)的值域为[0，1] B．若D(x0)＝1，是D(x0＋1)＝1 C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q D．∃x∈R，D(x＋)＝1 11．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀m，n∈(0，＋∞)，当m≠n时，都有<0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是(　　) A．f(3)>f(－4) B．若f(x－1)<f(2)，则x∈(3，＋∞) C．若<0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞) D．∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≤M 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f＝若f＝－2，则实数a＝________． 13. 某公司成功研发A，B两种芯片，且已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两种芯片，则可以获得的最大利润是________千万元．(毛收入＝营业收入－营业成本) 14．我们知道，函数y＝f的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数y＝f的图象关于点P成中心对称的充要条件是函数y＝f－b为奇函数．据此，对于函数g＝x3－x2＋x－，其图象的对称中心是________________，且有g＋g＋g＋…＋g＋g＝____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f是定义在R上的奇函数，当x>0时，f＝x＋＋1. (1)求函数f的解析式； (2)判断函数f在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 16．(15分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝，求函数h(x)的最大值以及单调区间． 17．(15分)已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x) . (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集． 18．(17分)经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f(t)＝ (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数解析式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值． 19．(17分)对于两个定义域相同的函数f(x)，g(x)，若存在实数m，n使h(x)＝mf(x)＋ng(x)，则称函数h(x)是由“函数f(x)，g(x)”生成的． (1)若f(x)＝x2＋3x和g(x)＝3x＋4生成一个偶函数h(x)，求h(2)的值； (2)若h(x)＝2x2＋3x－1是由函数f(x)＝x2＋ax，g(x)＝x＋b(a，b∈R且ab≠0)生成，求a＋2b的取值范围． 第三章　函数的概念与性质 1．C　[由题意对于f＝＋，得，解得x>且x≠1，故C正确．故选C.] 2．C　[由题意，在f＝中，f＝f＝f＝f＝f＝f＝f＝22－3×2＋4＝2.故选C.] 3．A　[因为函数f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝2＋m＝4，所以m＝2.故选A.] 4．A　[当a＝－1时，f＝x2－2x－3＝－4，则f在上单调递增， 即其在上具有单调性，则正向可以推出；若函数f＝x2＋2ax－3在上具有单调性， 则对称轴x＝－a≤1，解得a≥－1，则反向无法推出， 故“实数a＝－1”是“函数f＝x2＋2ax－3在上具有单调性”的充分不必要条件．故选A.] 5．B　[因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，－t2＋t－1＝－－≤－，而b＝f＝f，因为－>－>－，所以f>f>f≥f(－t2＋t－1)，所以b>a>c.故选B.] 6．D　[由题意，C(t)从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选D.] 7．A　[由题意可知a－2<0，即a<2，且f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2图象的对称轴为直线x＝，故m(a)＝f＝，a<2.令t＝a－2<0，则a＝t＋2，可得y＝＝－7≥×2－7＝2，当且仅当－t＝，即t＝－2，a＝0时，等号成立，即当a＝0时，m(a)取最小值2.故选A.] 8．C　[因为f(2x)＝2f(x)，所以f(x)＝2f.当x∈(1，2]时，f(x)＝(x－1)(x－2)在上单调递减，在上单调递增，值域为；当x∈(2，4]时，∈(1，2]，f(x)＝2f＝2，值域为；当x∈(4，8]时，∈(2，4]，∈(1，2]，f(x)＝2f＝4f＝4，值域为[－1，0]；当x∈(8，16]时，∈(4，8]，∈(2，4]，∈(1，2]，f(x)＝2f＝4f＝8f＝8在(8，12]上单调递减，在[12，16]上单调递增，且当x＝12时，f(x)min＝f(12)＝－2.令f(x)＝8＝－1，解得x1＝12－2，x2＝12＋2，即当8<x≤12－2时，－1≤f(x)<0，当12－2<x<12＋2时，f(x)<－1，所以当m≤12－2时，对任意x∈(1，m]都有f(x)≥－1，即m的取值范围是(1，12－2].故选C.] 9．BCD　[A：函数y＝＝＝x和y＝x的定义域都为R，解析式一样，是同一函数； B：函数y＝＝与y＝x－1的定义域都为R，解析式不一样，不是同一函数； C：函数y＝＝x的定义域为，y＝x的定义域为R，定义域不同，解析式一样，不是同一函数； D：函数y＝＝±1的定义域为，y＝1的定义域为R，解析式也不一样，不是同一函数．故选BCD.] 10．BD　[函数D(x)的值域为{0，1}．A错误；若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q，则D(x0＋1)＝1.B正确；D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π∉Q.C错误；当x＝－时，D(x＋)＝D(－＋)＝D(0)＝1.则∃x∈R，D(x＋)＝1.D正确．] 11. ACD　[由①知函数f(x)为偶函数；由②知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；由③知f(1)＝f(－1)＝0.画出函数大致图象如图．f(3)>f(4)＝f(－4)，A正确；由f(x－1)<f(2)得x－1<－2或x－1>2，解得x<－1或x>3，B错误；若<0，则当x>0时，f(x)<0，解得x>1，当x<0时，f(x)>0，解得－1<x<0，C正确；根据函数单调性及函数在R上的图象连续知，函数存在最大值f(0)，则只需M≥f(0)，即可满足条件，D正确．] 12．[解析]　由f＝－2⇒f＝－2⇒1－a＝－2⇒a＝3. [答案]　3 13．[解析]　因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y＝mx(m>0)，因为当x＝1时，y＝0.25，所以m＝0.25，所以y＝0.25x，即生产A芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式为y＝0.25x.对于B芯片，因为函数y＝kxa(x>0)的图象过点(1，1)，(4，2)，所以， 解得，所以y＝x，即生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y＝(x>0).设投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元生产A芯片，则公司所获利润f(x)＝0.25(40－x)＋－2＝－(－2)2＋9，所以当＝2，即x＝4时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元． [答案]　9 14．[解析]　设g的对称中心为，则y＝g－b为奇函数，所以－g＋b＝g－b， 即－＋－＋＋b＝－＋－－b， 化简可得x2＋2a3－3a2＋a－－2b＝0，所以，解得， 所以g图象的对称中心为； 因为g图象的对称中心为，所以－g＋＝g－， 所以g＋g＝3，所以g＋g＝3， 所以g＋g＝g＋g＝g＋g＝…＝g＋g＝3， 所以原式＝3×1 011＋g＝3 033＋g＝3 033＋＝. [答案]　　 15．[解]　(1)函数f是定义在R上的奇函数，所以f＝0，又当x>0时，f＝x＋＋1， 所以当x<0时，－x>0，f＝－f＝－＝x＋－1， 所以函数f的解析式 为f＝. (2)函数f在区间上单调递增，理由如下： 不妨设x1<x2<－1，则f－f＝－＝－＝， 因为x1<x2<－1，所以x1－x2<0，x1x2>1，0<<1，1－>0， 所以f－f<0，即f<f，所以函数f在区间上单调递增． 16．[解]　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，所以g(x)＝x－1. 在同一坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象(图略)，由题意及图，可知h(x)＝. 作出函数h(x)的图象如图所示， 可知函数h(x)的最大值为1， h(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(－∞，0)和(1，＋∞). 17．[解]　(1)由题意可知 所以 解得<x<， 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3). 而f(x)在(－2，2)上是减函数， 所以， 解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 18．[解]　(1)由已知得， y＝ ＝ ＝ (2)由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225， 函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减， ∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)； ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)； ②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25， 函数图象开口向上，对称轴为t＝45， 设函数在t∈[10，20]上单调递减， ∴y<1 200， ymin＝600(当t＝20时取得)， 由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)， ymin＝600(当t＝20时取得). 19．[解]　(1)设h(x)＝m(x2＋3x)＋n(3x＋4)＝mx2＋(3m＋3n)x＋4n， ∵h(x)是偶函数，∴h(－x)＝h(x)， 即m(－x)2＋(3m＋3n)(－x)＋4n＝mx2＋(3m＋3n)x＋4n， ∴m＋n＝0，∴h(2)＝4m＋4n＝0. (2)设h(x)＝2x2＋3x－1＝m(x2＋ax)＋n(x＋b)＝mx2＋(am＋n)x＋nb，易知n≠0， ∴，解得， ∴a＋2b＝－＝－－. 由ab≠0知，n≠3， 当n>0且n≠3时，a＋2b＝－≤－2＝－. 当且仅当n＝2时取等号； 当n<0时，a＋2b＝＋≥＋2＝，当且仅当n＝－2时取等号， ∴a＋2b的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$