1.1.等腰三角形（3）课堂达标测试 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（3） -----2025年北师大版数学八年级下册课堂达标测试 阅卷人 一、选择题（每题5分，共25分） 得分 1．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 3．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 阅卷人 二、填空题（每题5分，共25分） 得分 6．等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为　 　． 7．如图，直线a，b过等边三角形 顶点A和C，且 ， ，则 的度数为　 　. 8．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为： 米，则 　 　米. 9．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°.点D在边AB上，且BD=BC，连结CD，则∠ACD的大小为　 　. 10．如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则　 　． 阅卷人 三、解答题（共5题，共50分） 得分 11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数； （2）求证：△CEF是等腰三角形； （3）若CD=6，求DF的长. 12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ. （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由. （2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由. 13．和都是等边三角形． （1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． （2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 14．如图，在 中， ，点D，E分別在边AB，AC上， ，连结CD，BE. （1）若 ，求 ， 的度数. （2）写出 与 之间的关系，并说明理由. 15．如图 （1）【感知】如图①，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．若，则的大小是　 　度； （2）【探究】如图②，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．求证：； （3）【应用】如图③，是等边三角形，，点是边的中点，作，使角的两边分别交边、于点、，且．则四边形的周长为　 　． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】3或 7．【答案】102° 8．【答案】48 9．【答案】15° 10．【答案】3 11．【答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠B＝EDC＝60° ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝30° （2）证明：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠CED＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°， ∴∠F＝∠FEC＝30°， ∴CE＝CF； ∴△CEF 为等腰三角形． （3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∴CE＝DC＝6． 又∵CE＝CF， ∴CF＝6． ∴DF＝DC+CF＝6+6＝12 12．【答案】（1）解：AP=CQ． 理由如下： ∵∠PBQ=60°，且BQ=BP， ∴△BPQ为等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°， ∴∠CBQ=∠ABP， 在△ABP和△CBQ中， ， ∴△ABP≌△CBQ（SAS）， ∴AP=CQ． （2）解：△PQC是直角三角形． 理由如下：∵BP=BQ，∠PBQ=60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ=PB=4． 又CQ=AP=3，PC=5， ∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2， ∴△PQC是直角三角形． 13．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 14．【答案】（1）解： ， ， . 在 中， ， ， ， ， . . （2）解： ， 的关系： . 理由如下：设 ， . 在 中， ， ， . ， 在 中， ， . . . 15．【答案】（1）90 （2）解：是等边三角形， ， ，且， ， 在和中， ， ， （3）4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$