6.2.1 向量的加法运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2 平 面 向 量 的 运 算(1) 6.2.1向量的加法运算 学习目标 通过实例理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义 及其几何意义. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用 这两个法则作两个向量的加法运算. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向 量加法运算律的合理性. 重点难点 向量的加法运算及运算律 情境导学 我们知道，两个实数可以运算，运算使数的威力无穷，那么，向量是否 也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发， 引进了向量的运算，本节课我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质， 体会向量运算的作用 下面来学习向量的加法运算. 如图6.2-1，某质点从A经点B到点 C，这个质点的位移如何表示？ A 探究一 向量加法的三角形法则 导引 位移是向量，它们可以合成，我们能否从位移的合成中得到启发，引 进向量的加法呢？ C B 如图6.2-1， 物理知识告诉我们，这个质点两次位移A8，88的结果，与从点A直接到点8的 位移A8结果相同。因此，位移A8可以看成是位移A8与88合成的。数的加法启 发我们，从运算的角度看，A8可以看作是A8与88的和，即位移的合成可以看 作向量的加法。 如图6.2-2，已知非零向量a, b，在平面内取任意一点A ，作A8 = a，88 = b， 则向量A8叫做a与b的和，记作a + b，即a + b= A8 + 88 = A8. 图6.2-2 所以两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则， 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 A B a 思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？ 答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终 点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量. C a + b b 思考2 当向量a，b是共线向量时,a + b又如何作出？ 答 (1)当a与b同向时： OB = OA + AB = a + b a + b (2)当a与b反向时： A B . OA = a，AB = b ，OB = OA + AB = a + b a O b a + b 我们再来看看力的合成问题 思考 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用， 你能作出这个物体所受的合力F吗？ 图6.2-3 我们知道，合力F在以OA, O8为邻边的平行四边形的对角线上。并且 大小等于这条对角线的长，从运算的角度看，F可以看作是F1与F2的 和，即力的合成可以看作向量的加法。 如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量 a, b。以OA, O8为邻边作⏥OA88 ，则以O为起 点的向量O8（O8是⏥OA88的对角线）就是向 量a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法 叫做向量加法的平行四边形法则。力的合成可 以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。 探究点二 向量加法的平行四边形法则 思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？ 答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边 作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和. B D 对于零向量与任一向量a，我们规定：a + 0 = 0 + a=a C 以点A为起点作向量A8 = a，A5 = b，以AB、AD为邻边作 ▱ABCD，则以A为起点的对角线A8就是a与b的和， 记作a + b = A8，如图. a A· b a + b 思考 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 向量加法的平行四边形法则和三角形法则 区别： ①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”； ②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于 不共线的两个向量求和. 联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统 一的. A 图6.2-6（1） 例1 如图6.2-5，已知向量a, b，求作向量a + b. 作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1））. 作OA = a，A8 = b . 则O8 = a + b. 图6.2-5 a b a b a + b B O. A B 图6.2-6（2） C 作法2：在平面内任取一点0（图6.2-6（2））. 作08 = a，0B = b.以08, 0B为邻边作⏥080B，连接00， 则00 = 08 + 0B = a + b. 图6.2-5 a b a + b a O. b 探究（1）如果向量a, b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？ 你能作出向量a + b吗？ （2）结合例1，探索|a + b |，|a |, |b |之间的关系. a, b不共线时，|a + b | < |a | + |b | a, b同向时，|a + b | = |a | + |b | a, b反向时，|a + b | = |a | − |b |（或|b | − |a |） 一般地，我们有 |a + b | ≤ |a | + |b | 当且仅当a, b方向相同时等号成立. 探究 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？ 答 向量的加法满足交换律，根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的 交换律：a + b=b + a ∴a + b = b + a. 向量的加法也满足结合律， 根据下图中的四边形， 验证向量加法的结合律： （a + b) + c = a + (b + c). ∵ → → → → AC＝AB＋BC，∴AC＝a + b. ∵ → → → → AC＝AD＋DC，∴AC＝b + a. ∵ → → → → → → AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD， AB (BC CD) 又∵ → ＝→＋ → ＝→＋ → ＋ → ， AD AB BD ∴ → AD＝a + (b + c)， ∴（a + b) + c = a + (b + c). 反思与感悟 已知向量a与向量b，要作出和向量a + b，关键是准确规范地依 据三角形法则和平行四边形法则作图. 向量的加法满足交换律与结合律 练习： 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点. → → → → → → → → → → → (4)AC＋BA＋DA＝ . (1)AB＋AD＝ AC ； → (2)AC＋CD＋DO＝ AO ； → (3)AB＋AD＋CD＝ AD ； → 0 分析： 问题（1） 是表示两个速度的合速度的问题， 由于从同一点出发，我们可以用向量求和的 平行四边形法则来表示。 问题（2） 求合速度的大小与方向，我们通过解直角三角形即可 A D C B 解：（1）如图6.2-9，A5表示船速，A8表示江水速度。以A5，A8为邻边 作⏥A885 ，则A8表示船实际航行的速度。 （2）在R8 △ A88中，|A8| = 6，|88| = 18，于是 2 2 |A8| = |A8| + |88| = 62 + 182 = |A8| 2 因为t80 ∠8A8 = |88| = 8。所以利用计算工具可得∠8A8 ≈ 68° 因此，船实际航行速度的大小约为16. 2 k8/M。 方向与江水速度间的夹角约为68° 本题就是利用向量的加法来解决的实际问题 261 ≈ 16. 2 A D C B 课堂小结 向量的加法：求两个向量和的运算 向量的加法的依据三角形法则和平行四边形法则 向量的加法满足交换律、结合律. 利用向量的加法解决实际问题 高中数学 谢 谢 观 看 $$