8.3 简单几何体的表面积与体积 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3 简单几何体的表面积与体积 同步练习 一、选择题 1．（2024高一下·通州期末）已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高一下·东坡期末）一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·重庆市模拟）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（　　） A． B． C． D． 4．（2024高一下·襄阳期末）九章算术问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．问积几何．今译：已知正四棱台体建筑物方亭如下图，下底边长丈，上底边长丈，高丈．问它的体积是多少立方丈(　　) A． B． C． D． 5．（2024高一下·金华期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为( ) A． B． C． D． 6．（2024高一下·重庆市期中）中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为(　　) A． B． C． D． 7．（2023高一下·沈阳期末）龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（　　） A． B． C． D． 8．（2024高一下·温州期末）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．（2022高一下·联合期中）已知平行六面体的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 10．（2023高一下·宁德期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为 ，则（　　） A．正四面体的外接球的表面积为 B．正四面体的内切球的体积为 C．正四面体的棱长为12 D．线段MN的最大值为 11．（2022高一下·东莞期末）如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中不正确的命题是（　　） A．水面 所在四边形的面积为定值 B．随着容器倾斜度的不同， 始终与水面所在平面平行 C．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形 D．当容器倾斜如图（3）所示时， 为定值 12．（2023高一下·太原期中）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（　　） A．被截正方体的棱长为2 B．被截去的一个四面体的体积为 C．该二十四等边体的体积为 D．该二十四等边体外接球的表面积为 三、填空题 13．（2024高一下·丽水期中）高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为　 　. 14．（2023高一下·余姚期末）在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为　 　. 15．（2023高一下·太原期中）如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积　 　. 16．（2024高一下·辽宁月考）如图是我国古代米斗，米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．加上米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为（其厚度忽略不计），则其外接球的表面积为　 　． 四、解答题 17．（2024高一下·重庆市期中） 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 18．（2023高一下·河北期中）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积. 19．（2024高一下·湖南月考） （1）已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为，求该正四棱锥的体积； （2）如图单位：，求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积． 答案解析 1．【答案】D 【解析】解：因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 2．【答案】D 【解析】解：易知圆台的上、下底面半径为， 因为圆台的高10，所以圆台的母线长为， 则该圆台的侧面积为． 故答案为：D. 3．【答案】C 【解析】解：设，的中点分别为，，连，取的中点，如图， 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，所以， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心，因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连，由球的表面积为，可得半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故答案为：C． 4．【答案】B 【解析】解： . 故答案为： 5．【答案】A 【解析】解：三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 其外接球就是以PA，PB，PC为长，宽，高的长方体的外接球， 设则有可得， 即长方体的对角线的长为，所以球的直径为，半径为， 所以，此三棱锥外接球的体积为. 故答案为：A. 6．【答案】B 【解析】解：因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形，故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故答案为：B. 7．【答案】B 【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G. 根据题意，AB=20cm，CD=10cm，AC=15cm，EC=6cm， 设CG=xcm，EF=ycm， 得， 解得x=15，y=14， ∴ 故答案为：B. 8．【答案】A 【解析】解： 如图， 因为直线平面，所以， 在正方形中，， 所以， 则其体积为 正八面体的表面积为， 设内切球半径为， 则由， 解得，内切球的表面积为. 故选：A. 9．【答案】A,C 【解析】设平行六面体的体积为， 如左图，当取顶点时，则该四面体体积； 如右图，当取顶点时，则该四面体体积。 故答案为：AC. 10．【答案】B,C 【解析】依题作出图形，如下： 设正四面体的棱长为a， 则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合， 作 平面BCD，垂足为G，则G为 的重心，且 ， 则正四面体的高为 ， 设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r， 由图可知， ，解得 ， ， 依题可得 ，即 ，解得 ，C符合题意； 正四面体的外接球的表面积为 ，A不符合题意； 正四面体的内切球的体积为 ，B符合题意； 线段MN的最大值为 ，D不符合题意. 故答案为：BC. 11．【答案】A,B,C 【解析】对于A，在图（1）中，水面 所在四边形的面积为棱柱底面的面积，在图（2）中，水面 所在四边形的面积大于原棱柱底面的面积，A不符合题意. 对于B，在图（1）中， 与水面所在平面平行，在图（2），图（3）中， 与水面所在平面均不平行，B不符合题意. 对于C，因为棱柱在绕 旋转的过程中，没有水的部分始终呈棱柱形，C不符合题意. 对于D，因为在图（3），有水的部分形成一个直三棱柱，该三棱柱的底面为三角形，高为 ，根据水的体积为定值可得底面三角形的面积为定值，故 为定值，D符合题意. 故答案为：ABC. 12．【答案】A,C,D 【解析】 对于A项，由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点， 如图1，则，所以，A项正确； 对于B项，如图1，由A知，四面体是三条侧棱两两垂直，且长度为的三棱锥，所以，B项错误； 对于C项，正方体的体积为，所以该二十四等边体的体积为，C项正确； 对于D项，如图2，设球心为，显然是正方体的中心，连结，取中点为，连结， 因为分别是的中点，所以. 又，， 所以，在中，有，所以， 所以，该二十四等边体外接球的半径，表面积为，D项正确. 故答案为：ACD. 13．【答案】2 【解析】解：设底面半径为，则母线长为， 因为侧面积为， 所以，解得， 当截面为中轴面时顶角最大，截面的顶角设为， 则， 所以最大面积为，此时，顶角为. 故答案为：2. 14．【答案】 【解析】如图所示， 在△ABC中，，，∠BAC=90°， 则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体是两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 其中若母线长为，， 又，， 所以底面圆的半径为； 该组合体的表面积为. 故答案为：. 15．【答案】 【解析】设底面圆的半径为，则圆柱的高为，球的半径为， 所以，圆锥的体积，，， 所以，图案中圆锥、球、圆柱的体积. 故答案为：. 16．【答案】 【解析】解：由题意，米斗的示意图如下： 设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知，外接球的球心O落在直线上， 由题意可知，该四棱台上、下底面边长分别为4和2，侧棱长为， 则所以，， 设外接球的半径为R，则，因为垂直于上、下底面， 所以，，即，又因为， 联立解得，所以，该米斗的外接球的表面积为. 故答案为：. 17．【答案】（1）解： 由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥的表面积 （2）解： 正方体的体积为， 三棱锥的体积为， 所以剩余的几何体的体积为. 18．【答案】解： 由题意可知米，米，米， 则米. 圆锥的侧面积平方米， 圆柱的侧面积平方米， 所以该蒙古包的侧面积平方米. 19．【答案】（1）解：如图， 正四棱锥中，设为与交点， 所以由正四棱锥的性质得平面，所以， 因为正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5， 所以，， 所以，即正四棱锥的高为 所以，该正四棱锥的体积为 （2）解：图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球， 圆台的体积为， 半球的体积为， 所以该几何体的体积为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$