第二章一元二次函数、方程和不等式章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年郑州市中牟高中高一上学期数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式章末检测卷 测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x2－x－3<0的解集是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．，或x>} B． C． D． 2．已知a，b为正实数，2a＋b＝1，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D． 3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．M>－5 B．M<－5 C．M＝－5 D．不能确定 4． “x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1·x2>1”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知关于x的不等式<0的解集为S，若5∈S且7∉S，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 6．某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将x(10≤x≤32，x∈N*)个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5x%，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，则x满足(　　) A.10≤x≤24，x∈N* B．16≤x≤24，x∈N* C．16≤x≤32，x∈N* D．12≤x≤32，x∈N* 7．已知x>1，y>1，且x＋y－xy＝，则2x＋y的最小值是(　　) A．2 B．4 C．4 D．5 8．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，且对任意1≤x≤5，不等式bx2＋amx＋2c>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|m≤4} B．{m|m<4} C．{m|m≥13} D{m|m>13} 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3，或x>2}，则(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集是，或 10．下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则a－c>b－c B．若a>b，c>d，则ac>bd C．若a<b<0，则> D．若a>b>0，则a2>ab>b2 11. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接AD，BD，OD.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．≥(a>0，b>0) C．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) D．≤(a>0，b>0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)有唯一的实数根3，则不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________． 13．已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________． 14．最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1 000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且 y＝，每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10 000台． (1)企业获得年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式为________________________________________________________________________； (2)当年产量为________百台时，企业所获年利润最大．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)解下列不等式： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)≤1. 16．(15分)已知0<a<b且a＋b＝1，试比较： (1)a2＋b2与b的大小； (2)2ab与的大小． 17．(15分)(2024·吉林省吉林市高一期末)已知二次函数y＝x2＋mx＋n(m>0，n>0). (1)当x＝1时，y＝2，求mn的取值范围； (2)当x＝2时，y＝5，求＋的最小值． 18．(17分)(2024·浙江杭州高一期中)为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园ABCD的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园AMPN.为了方便施工，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝30 m，AD＝20 m. (1)当DN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积； (2)要使矩形AMPN的面积大于3 200 m2，则DN的长应在什么范围内？ 19．(17分)(2024·湖北仙桃中学高一月考)已知二次函数y＝ax2＋x－15. (1)若a<0，不等式ax2＋x－15>0有解，求a的取值范围； (2)若关于x的不等式y≤0的解集为{x|2m－8≤x≤m}，求a，m的值； (3)在(2)的条件下，关于x的不等式组的解集中有且仅有两个整数解，求k的取值范围． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1．C　[不等式2x2－x－3<0可化为<0，所以－1<x<， 即原不等式的解集为.故选C.] 2．D　[因为a>0，b>0，2a＋b＝1，所以ab＝×2ab≤＝， 当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时，等号成立．故选D.] 3．A　[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.故选A.] 4．A　[当x1>1且x2>1时，x1＋x2>2且x1·x2>1.当x1＝0.99，x2＝2时，满足x1＋x2>2且x1·x2>1，但是x1>1且x2>1不成立．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1·x2>1”的充分不必要条件．故选A.] 5．D　[若5∈S且7∉S，则或，解得5<m≤7或≤m<1，故选D.] 6．C　[设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为y1，y2，则y1＝x(10≤x≤32，x∈N*)，y2＝(100－x)(10＋10×0.025x)＝(100－x)(10＋0.25x)＝－0.25x2＋15x＋1 000，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，则y1＋y2≥100×10×140%，所以x－0.25x2＋15x＋1 000≥1 400，化简得x2－56x＋640≤0，即(x－40)(x－16)≤0，解得16≤x≤40，又因为10≤x≤32，x∈N*，所以16≤x≤32.x∈N*.故选C.] 7．D　[由x＋y－xy＝，得＝，因为x>1，y>1，所以x－1>0，y－1>0， 则2x＋y＝2＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当2＝，即x＝，y＝2时，等号成立，所以2x＋y的最小值是5.故选D.] 8．B　[由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故a<0且－＝－2＋3＝1，＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c>0变为－ax2＋amx－12a>0.由于a<0，1≤x≤5，则上式可转化为m<x＋在1≤x≤5上恒成立，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，故m<4.故选B.] 9．AD　[由关于x的不等式ax2＋bx＋c>0解集为{x|x<－3，或x>2}， 知－3和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，且a>0，故A正确； 根据根与系数的关系知：－＝－3＋2＝－1<0，＝－3×2＝－6<0，∴b＝a，c＝－6a，a>0， 选项B，不等式bx＋c>0化简为x－6>0，解得：x>6，即不等式bx＋c>0的解集是{x|x>6}，故B不正确； 选项C，由于a>0，故a＋b＋c＝a＋a－6a＝－4a<0，故C不正确； 选项D，不等式cx2－bx＋a<0化简为：6x2＋x－1>0，解得：x∈，或，故D正确．故选AD.] 10．ACD　[对于A，∵a>b，由不等式的基本性质知，a－c>b－c，故A正确； 对于B，当a＝c＝2，b＝d＝－2时，满足a>b，c>d，但ac＝bd，故B错误； 对于C，∵a<b<0，∴－＝>0，∴>，故C正确； 对于D，∵a>b>0，∴a2>ab(两边同时乘以a)，ab>b2(两边同时乘以b)， ∴a2>ab>b2，故D正确．故选ACD.] 11．BCD　[因为D在以AB为直径的半圆上，所以∠ADB＝90°，又O为AB的中点，所以OD＝AB.因为AC＝a，BC＝b，所以OD＝(a＋b)，因为∠ADB＝90°，所以由射影定理得CD2＝AC·BC＝ab，因为OD≥CD，所以≤，当且仅当a＝b时取等号，故选BCD.] 12．[解析]　由已知得抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的开口向下，与x轴交于点(3，0)，故不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x＝3}． [答案]　{x|x＝3} 13．[解析]　∵1<α<3， ∴<α<， 又－4<β<2，∴－2<－β<4， ∴－<α－β<，故－<z<. [答案]　 14．[解析]　(1)当0≤x<40时，P＝160x－(2x2＋40x)－1 000＝－2x2＋120x－1 000；当40≤x≤100时，P＝160x－165x－＋2 250－1 000＝－5x－＋1 250，所以P＝. (2)当0≤x<40时，P＝－2x2＋120x－1 000＝－2(x－30)2＋800，所以当x＝30时，Pmax＝800；当40≤x≤100时，P＝－5x－＋1 250＝1 250－5≤1 250－5×2＝650，当且仅当x＝，即x＝60时，等号成立．因为800>650，所以当年产量为30百台时，企业所获年利润最大． [答案]　(1)P＝ (2)30 15．[解]　(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. (2)不等式≤1，即－1≤0， 所以≤0，所以 解得x≥1或x<－1， 所以原不等式的解集为{x|x<－1，或x≥1}． 16．[解]　(1)因为0<a<b且a＋b＝1， 所以0<a<<b， 则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0， 所以a2＋b2<b. (2)因为b＝1－a， 所以2ab－＝2a(1－a)－ ＝－2a2＋2a－ ＝－2 ＝－2<0， 所以2ab<. 17．[解]　(1)∵当x＝1时，y＝2，∴m＋n＝1， 又∵m>0，n>0，∴m＋n≥2，即1≥2， ∴≤， 即mn≤，当且仅当m＝n＝时等号成立． 由题意可知mn>0， ∴mn的取值范围是0<mn≤. (2)∵当x＝2时，y＝5， ∴4＋2m＋n＝5，即2m＋n＝1. ∵m>0，n>0， ∴＋＝(2m＋n)＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当，即m＝，n＝时等号成立． ∴＋的最小值是8. 18．[解]　(1)设DN的长为xm，则AN＝m，AB＝30 m，AD＝20 m， ∵CD∥AM，∴＝，∴AM＝，∴矩形AMPN的面积S＝·＝ ＝30x＋＋1 200(x>0)， 由基本不等式得：30x＋＋1 200≥2＋1 200＝2 400， 当且仅当30x＝⇒x＝20时，取“＝”， ∴当x＝20，即DN＝20 m时，Smin＝2 400 m2. (2)由(1)得>3 200，即3x2－200x＋1 200>0， ∴>0，∴0<x<或x>60，∴DN的长的范围为∪. 19．[解]　(1)因为a<0，不等式ax2＋x－15>0有解，所以对应方程ax2＋x－15＝0中Δ＝1＋60a>0，解得a>－，则a的取值范围为. (2)因为y≤0的解集为{x|2m－8≤x≤m}，所以a>0，且y＝ax2＋x－15＝0的两实数根为2m－8，m， 所以有，解得或(舍去)， 故a＝2，m＝. (3)由(2)知y＝2x2＋x－15，若y>0， 即2x2＋x－15>0，解得x<－3或x>. 由2x2＋(2k＋7)x＋7k<0，得(2x＋7)(x＋k)<0. ①当k>，即－k<－时，不等式的解为－k<x<－. 若不等式组的解集中有且仅有两个整数解， 只需－6≤－k<－5，解得5<k≤6. ②当k<，即－k>－时，不等式的解为－<x<－k， 若不等式组的解集中有且仅有两个整数解． 则－2<－k≤－1，解得1≤k<2. ③当k＝时，(2x＋7)(x＋k)＝2≥0， 故不等式组无解，舍去． 综上可得，1≤k<2或5<k≤6. 学科网（北京）股份有限公司 $$