精品解析：河北省沧州市沧州十校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期高二年级12月份月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对案应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答黑题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参. 【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知，， 故选：B 3. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 4. 已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线离心率，解得，进而可得渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率，可得， 所以双曲线的渐近线方程为； 故答案为：C. 5. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 故， 所以满足的正整数的最小值为22． 故选：C 8. 某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线方程为，得到点关于直线的对称点，连接，与交于点，与圆交于点，所以即为机器人走过的最短路程，利用两点间距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则直接计算即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD 10. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 数列中有两项的值最小 D. 数列中有16项的值为负数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推式求得判断A，结合等差数列前n项和公式，利用累加法求得，根据二次函数性质判断单调性和求解最值判断BC，解一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误； 对于B，由，得当时，， 同理可得：，…，，将上式相加， 得， 所以， 由二次函数的性质可知，不为递减数列，故B错误； 对于C，因为， 所以当或时，取得最小值，故C正确； 对于D，当时，，解得，， 所以数列中有16项的值为负数，故D正确. 故选：CD 11. 已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线和所成角为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若，则点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ，设，其中，， 对于A选项，由， 得，即， 所以，，故A正确； 对于B选项，由A选项知，所以，又， 设直线和所成角为（）， 则，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，， 即，又点在平面内（包含边界）， 所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧， 所以其长度为，故C正确； 对于D选项，由C选项知，，设， 则， 所以， 所以点到的距离，令，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故点到直线的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：空间坐标系与向量的应用：通过构造空间直角坐标系，结合向量的性质来解决几何问题，是解题的关键步骤. 轨迹分析与距离计算的结合：通过分析动点的运动轨迹，再结合几何性质进行距离的计算，确保了推导过程的严密性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，再由点斜式得解. 【详解】∵， ∴， ∴， 又， 故所求切线的方程为，即． 答案： 13. 设是等比数列的前项和，若，则______． 【答案】28 【解析】 【分析】由题意知成等比数列，结合等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意知成等比数列，且公比为， 所以， 所以. 故答案为：28. 14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点（异于点）在上，且，则取最小值时，直线的斜率为______． 【答案】##或 【解析】 【分析】将代入抛物线方程可解得，进而得抛物线方程为；由题意判断直线的斜率存在且都不为0，故设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得，代入直线方程可得，结合抛物线的定义可得，同理，表示出，利用配方法可得最小值，解出斜率即可. 【详解】 因为点是抛物线上的一点，所以，解得； 所以，由题意可知直线的斜率存在且都不为0， 设直线的方程为，由， 得，所以，解得， 所以， 又，则设直线的方程为，由， 得，所以，解得， 所以， 所以， 所以当，即时，有最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差和首项，进而得通项公式； （2）根据分组求和的方法，结合等差数列前项和公式，等比数列前项和公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 因此，，. 【小问2详解】 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析焦点三角形，结合焦点三角形的面积，得出的关系即可求解； （2）联立直线和椭圆，设出，利用韦达定理，斜率公式表示出然后运算求解. 【小问1详解】 由题意，得，其中， 因为，的面积为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由得 所以，即． 因为两点异于点，所以，所以， 又， 所以 ， 将代入上式， 得． 所以直线的斜率之和为0． 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）由 ，且数列具有性质，进而得出的值； （2）证明为常数，即可得出结论； （3）求出数列的通项公式，可得出，再求出数列的通项公式，利用，求正整数的取值范围即可得解. 【小问1详解】 由得， 根据题意，数列具有性质， 由，所以，故. 【小问2详解】 ，故 (常数) 故数列具有性质. 【小问3详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得，， 即， 由数列各项都为正数，可得， 即， 又，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 得， 因为数列具有性质，所以成等比数列， 故， 于是，即，其中 ，即， ，由知 ， ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上①②可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，需要由的关系求通项公式，还需要会对形式的数列构造等比数列求通项公式，对能力要求比较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期高二年级12月份月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对案应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答黑题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 数列中有两项的值最小 D. 数列中有16项的值为负数 11. 已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线和所成角为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若，则点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 13. 设是等比数列的前项和，若，则______． 14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点（异于点）在上，且，则取最小值时，直线的斜率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $