函数的图像与性质 学案-2025届高三数学二轮专题复习

04 函数的图像与性质（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性； （2）利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题； （3）函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法. 2、易错易混点归纳 多个单调区间的叙写不能用并集连接。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 .1.函数的性质 （1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则； （2）奇偶性：①若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）； ②若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）＝0； ③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性； （3）周期性：若y＝f（x）对x∈R，f（x＋a）＝f（x－a）或f（x＋2a）＝f（x）（a＞0）恒成立，则y＝f（x）是周期为2a的周期函数. 易错提醒　在讨论函数奇偶性，单调性等内容时，易忽略函数的定义域而导致错解. 2.常用结论 （1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称； （2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称； （3）若y＝f（x）是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为2｜a｜的周期函数； （4）若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为4｜a｜的周期函数； （5）若f（x＋a）＝－f（x），则y＝f（x）是周期为2｜a｜的周期函数. 【典例探究】 考点一　函数的图象 学法指导：寻找函数图象与解析式对应关系的方法 （1）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复； （2）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性. 【例1】　（1）（2024·保定二模）函数f（x）＝·cos 2x的部分图象大致为（　　） 【解析】设g（x）＝，则g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）为奇函数，设h（x）＝cos 2x，可知h（x）为偶函数，所以f（x）＝·cos 2x为奇函数，则B、C错误；易知f（0）＝0，所以A正确，D错误.故选A （2）　已知f（x）＝不等式f（x＋a）＞f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】作出函数f（x）＝的图象，如图.要使不等式f（x＋a）＞f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则x＋a＜2a－x在[a，a＋1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a＋1]上恒成立，所以a＞2（a＋1），解得a＜－2.所以实数a的取值范围是（－∞，－2）. 考点二　函数的性质及应用 学法指导：函数的奇偶性、周期性及对称性 （1）奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分（一般取一半）区间上，注意偶函数常用结论f（x）＝f（｜x｜）； （2）周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；（3）对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题. 【例2】 （1） 已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）＝1，对任意的x1＜x2，有＞－1，则不等式 f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜的解集为 ； 【解析】对任意的x1＜x2，有＞－1，则f（x1）－f（x2）＜x2－x1，即f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，则y＝f（x）＋x在R上是增函数.因为f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜，且f（1）＝1，f（｜x－1｜）＋｜x－1｜＜f（1）＋1，则｜x－1｜＜1，解得0＜x＜2. （2） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋＋1.若函数y＝f（x）在 [1，＋∞）上的最小值为3，则实数a＝ . 【解析】因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋＋1.当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x－＋1＝－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝x＋－1，此时f'（x）＝1－，当a≤1时f'（x）＝1－≥0在[1，＋∞）上恒成立，函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x＝1时，函数取得最小值，f（1）＝1＋a－1＝3，解得a＝3（舍），当a＞1时，x∈[1，]，f'（x）＜0，函数单调递减；x∈[，＋∞），f'（x）＞0，函数单调递增，故x＝时，函数取得最小值，f（）＝2－1＝3，解得a＝4，综上，a＝4. （3）（多选）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＋f（x）＝0，且y＝f（2－x）为偶函数，则下列说法一定正确的是（　 　） A.函数f（x）的周期为2 B.函数f（x）的图象关于（1，0）对称 C.函数f（x）为偶函数 D.函数f（x）的图象关于x＝3对称 【解析】依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），函数f（x）的周期为4，A错误；因为函数y＝f（2－x）是偶函数，则f（2－x）＝f（2＋x），函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（2－x）＝－f（x），即f（2－x）＋f（x）＝0，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，B正确；由f（2－x）＝f（2＋x）得f（－x）＝f（4＋x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，C正确；由f（x＋2）＋f（x）＝0得f（x＋3）＋f（1＋x）＝0，由f（2－x）＝f（2＋x）得f（3－x）＝f（1＋x），因此f（x＋3）＋f（3－x）＝0，函数f（x）的图象关于（3，0）对称，D错误.故选B、C 【训练检测】 1.　已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为（　　） 【解析】C　结合题意可得：当x＜0时，f（x）＝x－2＝为幂函数，其在（－∞，0）上单调递增；当x≥0时，f（x）＝＝也为幂函数，其在[0，＋∞）上单调递增.故函数f（x）＝的大致图象如图所示.要得到y＝－f（x）的图象，只需将y＝f（x）的图象沿x轴对称即可.故选C. 2.（2024·新高考Ⅰ卷6题）（分段函数单调性的应用）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 【解析】B　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 3.已知函数f（x）＝e｜x｜－cos x，则f（），f（0），f（－）的大小关系为（　　） A.f（0）＜f（）＜f（－） B.f（0）＜f（－）＜f（） C.f（）＜f（－）＜f（0） D.f（－）＜f（0）＜f（） 【解析】B　∵f（x）＝e｜x｜－cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－cos （－x）＝e｜x｜－cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（）＝f（－）.当x＞0时，f（x）＝ex－cos x，则f'（x）＝ex＋sin x，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＝ex＋sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（0）＜f（）＜f（），即f（0）＜f（－）＜f（）. 4.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　　） A.－1 B.－2 C.2 D.1 【解析】B　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B. 【预习要求】 1、 认真阅读必修一教材p52---p64、熟悉本节课的“复习目标”、“重要考点”、“易混易错点”； 2、 能合本说出函数性质的相关知识点。 3、能合本说出函数性质知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$