平面向量的应用学案-2025届高三数学二轮专题复习

03 向量 【复习目标】 1、考点归纳 （1）以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； （2）以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； （3）向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现. 2、易错易混点归纳 （1）注意向量夹角和直线夹角的关系，两者并不等价． （2）注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝. 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2 (其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是 ＝(＋). (3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G. 【典例探究】 考点一　平面向量的线性运算 学法指导：1.对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化. 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比. 【例1】　如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x＋y＝ 【解析】由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝. 考点二　平面向量的数量积运算 学法指导：平面向量数量积问题的解题方法 （1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解； （2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决. 【例2】（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D.1 【解析】因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. （2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且·＝4，则·＝（　　） A.1 B. C.2 D. 【解析】作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B. 考点三　平面向量中的最值（范围）问题 学法指导：平面向量中最值（范围）问题的求解思路 （1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c＞＝，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为 【解析】由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1. （2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为 【解析】以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 【训练检测】 1.　已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k＝ ；若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为 【解析】∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋（b－2c）＋c＝0，则△ABC的形状为 三角形. 【解析】∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形. 3.（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝ 【解析】如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－. 4.（2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，］ C.［－，］ D.［－，－］ 【解析】A　如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A. 5.（2024·湖南教研联盟第二次联考）设＝（1，0），＝（0，2），对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，－7） B.[13，＋∞） C.（13，＋∞） D.（－∞，－7）∪[13，＋∞） 【解析】B　由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B. 【预习要求】 1、 认真阅读必修二教材p78---p135、熟悉本节课的“复习目标”、“重要考点”、“易混易错点”； 2、 能合本说出平面向量角、模知识点。 3、能合本说出平面向量知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$