不等式与基本不等式学案-2025届高三数学二轮专题复习

02 不等式（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 (1)利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主； (2)在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大. 2、易错易混点归纳 (1)解对数不等式要注意定义域 (2)不等式的解集要写成集合或者区间的形式 (3)用基本不等式要注意使用的条件，当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.不等式的倒数性质和分数性质 （1）倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜. （2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 2.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.解形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论. 4.基本不等式的常见变形 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）； （2）＋≥2（a，b同号）； （3）ab≤（）2（a，b∈R）； （4）≥≥≥（a＞0，b＞0）.当且仅当a＝b时，上面不等式的“＝”成立. 【典例探究】 考点一　不等式的性质及应用 学法指导：利用不等式的性质判断正误的两种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 【例1】　（2024·杭州质检）若a＞b，则（　　） A.a2＞b2 B.＜ C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜ 【解析】解析：D　对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D 考点二　含参一元二次不等式的解法 学法指导： 【例2】　（2024·南通如皋诊断）已知集合M＝{x｜x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x｜x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a为集合{x｜a≤x≤b}的长度.若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.10 【解析】D　当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D. 考点三　基本不等式 学法指导：基本不等式求最值的三种解题技巧 （1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值； （2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，则可通过凑系数得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值； （3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg（x）（AB＞0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值. 【例3】　（1）已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为（　） A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B. （2）若x＜，则f（x）＝3x＋1＋有（　　） A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 【解析】∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C. 【训练检测】 1.（多选）（2024·长郡中学模拟）若a＞b＞0＞c，则（　　） A.＞ B.＞ C.ac＞bc D.a－c＞2 【解析】ABD　由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确. 2.若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 【解析】不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为⌀，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7]. 3.（2024·镇江丹阳期中）已知正实数x，y满足x－y＋5＝xy，则x＋y的最小值为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】B　由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B. 4.（多选）（2024·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.a2＋b2的最小值为 C.loa＋lob的最小值为3 D.2a＋4b的最小值为2 【解析】BCD　对于A，＋＝（＋）（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D. 5.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　　） A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 【解析】BC　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C. 【预习要求】 1、 认真阅读必修一教材p24---p39、熟悉本节课的“复习目标”、“重要考点”、“易混易错点”； 2、 能合本说出不等式的性质以及解法。 3、能合本说出不等式知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$