集合、复数与逻辑用语 学案-2025届高三数学二轮专题复习

01 集合、复数与常用逻辑用语 【复习目标】 1、考点归纳 （1）集合的含义、基本关系、基本运算 （2）会分析四种命题的相互关系，理解四种条件的意义 （3）对逻辑联结词的考查,常以函数、三角函数、不等式为载体命题,题型以选择题为主 2、易错易混点归纳 （1）集合中元素的意义弄错导致集合的运算出错 （2）集合与集合间的关系讨论时忽略空集 （3）逻辑连接词和四种条件的概念混淆导致出错 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集. 2.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况. 3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值. 4.“命题p的否定”即：非p，只是否掉命题p的结论. 5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. 6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词. 【典例探究】 考点一　集合及其运算 学法指导：（1）确定集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图. 【例1】　（1）（2024·贵阳适应性考试）若集合A＝{x｜2mx－3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（　　） A.（，］ B.［，） C.（，） D.［，］ 【解析】（1）因为2∈A且1∉A，所以解得m∈（，］，故选A. （2）（2024·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　　） A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1} C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3} 【解析】∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 考点二　复数及运算 学法指导：（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为z＝mi（m∈R且m≠0），利用复数相等求解；（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi（a，b∈R），利用待定系数法求解；（3）与复数有关的判断及运算也可利用复数的几何意义转化求解. 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 【解析】解析：C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. （2）（2024·湖北七市州联合测试）已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z（4－3i）＝3＋4i，则｜｜＝（　　） A. B. C.1 D.2 【解析】由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C. 考点三　命题及其关系、充分条件与必要条件 学法指导：（1）定义法：根据命题p⇒命题q，命题q⇒命题p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据命题p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解. 【例3】　（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. （2）已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【解析】p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3}⫋{m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件. 【训练检测】 1.（2024·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜－2x2＋5x＋3≥0}，B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，则A∩B的真子集个数为（　　） A.3 B.4 C.7 D.8 【解析】解析：C　由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C. 2.（2024·开封第二次质量检测）已知集合A＝x｜x＝sin，n∈Z，B＝{0，1}，则下列命题正确的是（　　） A.A＝B B.B⊆A C.A∩B＝{0，－1} D.∁AB＝{1} 【解析】B　因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B⊆A，A≠B，A∩B＝{0，1}，∁AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B. 3.（2024·济南高三模拟考试）已知复数z1，z2满足2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，则z1＋z2＝（　　） A.1 B. C.2 D.2 【解析】B　法一　由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B. 法二　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜＝＝＝＝，故选B. 4.（多选）（2024·郑州第二次质量预测）在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是（　　） A.｜z1｜＝｜z2｜＝1 B.z1·z2＝｜z1｜2 C.向量对应的复数是1 D.｜｜＝｜z1－z2｜ 【解析】AD　因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D. 5.已知椭圆C：＋y2＝1（m＞0），则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】A　由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A. 6.（2024·保定定州二中等校联考）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＋ln x＞x B.存在一个三位数，它是质数且大于991 C.∃x∈R，sin x＋cos x＝1.42 D.在区间（0，99）内，至少存在50个奇数 【解析】B　对于A，∀x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C，∃x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B 【预习要求】 1、 认真阅读必修一教材p2--p22、熟悉本节课的“复习目标”、“重要考点”、“易混易错点”； 2、 能合本说出集合与逻辑用语之间的联系。 3、能合本说出集合、复数知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$