2025年九年级中考数学一轮复习训练 方程与不等式(一元二次方程）

2025年中考一轮复习：方程与不等式(一元二次方程：综合训练） 一．选择题（共8小题） 1．用配方法解方程x2+x＝2，应把方程的两边同时（　　） A．加 B．加 C．减 D．减 2．已知数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．一元二次方程x2﹣16＝0的解是（　　） A．x1＝8，x2＝﹣8 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x1＝4，x2＝﹣4 4．将一元二次方程3x2+1＝2x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，1 B．3，﹣1 C．3，2 D．3，﹣2 5．若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 6．在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．2 C．3 D．4 7．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x21 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5 二．填空题（共6小题） 9．已知α、β是方程x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则2α2+7α+β的值是 　 　． 10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　 　． 11．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），下列说法： ①方程的解为x； ②若b＝a+c，则方程必有一根为x＝﹣1； ③若b＝2ac，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝﹣2； ④若ac＜0，则方程cx2+bx+a＝0有两个不等实数根； ⑤若b2﹣4ac＝0，则方程cx2+bx+a＝0有两个相等的实数根， 正确的结论是　 　． 12．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 13．把一元二次方程（x﹣2）2＝5化为一般形式为 　 　． 14．设方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么αβ﹣α﹣β的值等于 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 16．书画装裱是指为书画配上衬纸和卷轴，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是12dm×7dm，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且左边衬宽度是上边衬宽度的2倍，若装裱前的面积是装裱后面积的，求左边衬的宽度． 17．（1）解方程：x2﹣x＝0； （2）求抛物线y＝﹣x2+4x﹣5的顶点坐标． 18．解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0． 19．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 20．如图，老李想用长为70m的栅栏．再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为640m2时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 2025年中考一轮复习：方程与不等式(一元二次方程：综合训练） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D D A C C B 一．选择题（共8小题） 1．用配方法解方程x2+x＝2，应把方程的两边同时（　　） A．加 B．加 C．减 D．减 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵x2+x＝2 ∴x2+x2 故选：A． 2．已知数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】设A表示的数为x1，B表示的数为x2，根据数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝﹣8，故AB＝|x1﹣x2|＝6． 【解答】解：设A表示的数为x1，B表示的数为x2，则AB＝|x1﹣x2|， ∵数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣8， ∴AB＝|x1﹣x2|6， 故选：C． 3．一元二次方程x2﹣16＝0的解是（　　） A．x1＝8，x2＝﹣8 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x1＝4，x2＝﹣4 【分析】利用直接开平方法解方程即可求解． 【解答】解：∵x2﹣16＝0， ∴x2＝16， 解得：x1＝4，x2＝﹣4． 故选：D． 4．将一元二次方程3x2+1＝2x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，1 B．3，﹣1 C．3，2 D．3，﹣2 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【解答】解：把3x2+1＝2x化为一般式3x2﹣2x+1＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2， 故选：D． 5．若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程， ∴m+1≠0， 即m≠﹣1， 故选：A． 6．在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解． 【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为： 39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为2＝3． 故选：C． 7．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x21 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1， 配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．已知α、β是方程x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则2α2+7α+β的值是 　5　． 【分析】根据题意求出α2+3α＝4，α+β＝﹣3的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：由题意可知：α2+3α﹣4＝0，α+β＝﹣3， ∴α2+3α＝4， ∴2α2+7α+β＝2（α2+3α）+α+β＝2×4﹣3＝5． 故答案为：5． 10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　m＞1　． 【分析】当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．根据Δ＜0求解即可． 【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0， ∴m＞1． 故答案为：m＞1． 11．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），下列说法： ①方程的解为x； ②若b＝a+c，则方程必有一根为x＝﹣1； ③若b＝2ac，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝﹣2； ④若ac＜0，则方程cx2+bx+a＝0有两个不等实数根； ⑤若b2﹣4ac＝0，则方程cx2+bx+a＝0有两个相等的实数根， 正确的结论是　②③④⑤　． 【分析】①只有当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程的解为x，由此即可判定说法错误； ②首先把b＝a+c变为a﹣b+c＝0，当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，由此即可判定说法正确； ③首先把b＝2ac变为4a﹣2b+c＝0，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a﹣2b+c，由此即可判定说法正确； ④首先由ac＜0，可得方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程，再根据Δ＝b2﹣4ac＞0，可得方程cx2+bx+a＝0有两个不等实数根，由此即可判定说法正确； ⑤只有当c≠0时，方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程，若b2﹣4ac＝0，则方程cx2+bx+a＝0有两个相等的实数根，由此即可判定说法正确． 【解答】解：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）， 当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程无解； 当Δ＝b2﹣4ac≥0时，方程的解为x，故原说法错误； ②∵b＝a+c， ∴a﹣b+c＝0， ∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故原说法正确； ③∵b＝2ac， ∴4a﹣2b+c＝0， ∴当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a﹣2b+c＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝﹣2，故原说法正确； ④∵ac＜0， ∴c≠0，方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程， ∵Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程cx2+bx+a＝0有两个不等实数根，故原说法正确； ⑤当c≠0时，方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程，若b2﹣4ac＝0，则方程cx2+bx+a＝0有两个相等的实数根； 当c＝0时，b＝0，a＝0，与题干不一致，故原说法正确． 故答案为：②③④⑤． 12．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　9　． 【分析】关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则Δ＝0，据此列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×m＝0，即36﹣4m＝0， 解得m＝9， 故答案为：9． 13．把一元二次方程（x﹣2）2＝5化为一般形式为 　x2﹣4x﹣1＝0　． 【分析】直接利用完全平方公式展开，进而合并求出答案． 【解答】解：（x﹣2）2＝5 x2﹣4x+4＝5， 则x2﹣4x﹣1＝0． 故答案为：x2﹣4x﹣1＝0． 14．设方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么αβ﹣α﹣β的值等于 　﹣3　． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β， 所以α+β＝1，αβ＝﹣2， 所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 三．解答题（共6小题） 15．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆，利用该汽车企业2022年新能源汽车销售总量＝该汽车企业2020年新能源汽车销售总量×（1+该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（58﹣2y）辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润＝每辆的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆， 根据题意得：a（1+x）2＝（1+96%）a， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出81＝（58﹣2y）辆， 根据题意得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96， 整理得：y2﹣44y+483＝0， 解得：y1＝21，y2＝23， 又∵要尽量让利于顾客， ∴y＝21． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 16．书画装裱是指为书画配上衬纸和卷轴，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是12dm×7dm，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且左边衬宽度是上边衬宽度的2倍，若装裱前的面积是装裱后面积的，求左边衬的宽度． 【分析】设左边衬的宽度为x dm，则上边衬的等宽为x，根据题意列方程解答即可． 【解答】解：设左边衬的宽度为x dm，则上边衬的等宽为x dm，根据题意得： （12+2x）（7）， 化简，得x2+13x﹣14＝0， （x+14）（x﹣1）＝0， x+14＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣14（不符合题意，舍去），x2＝1， 答：左边衬的宽度为1dm． 17．（1）解方程：x2﹣x＝0； （2）求抛物线y＝﹣x2+4x﹣5的顶点坐标． 【分析】（1）利用因式分解即可求解；（2）把函数解析式配方即可． 【解答】解：（1）因式分解得：x（x﹣1）＝0，即x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1； （2）y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1， 抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）． 18．解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0． 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣5＝0， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， 则x+1， 所以． （2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0， （2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）＝0， （3x﹣1）（x﹣9）＝0， 则3x﹣1＝0或x﹣9＝0， 所以． 19．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为（1560﹣20y）件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256（1+m）2， 根据题意得：256（1+m）2＝400， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）（件）， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 20．如图，老李想用长为70m的栅栏．再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为640m2时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）设矩形ABCD的边AB为x m，则边BC的长为（72﹣2x）m，根据羊圈的面积为640m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB为x m，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m， 答：边BC的长度是（72﹣2x）m； （2）设矩形ABCD的边AB为x m，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m， 根据题意得：x（72﹣2x）＝640， 整理得：x2﹣36x+320＝0， 解得：x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）； 答：当羊圈的面积为640m2时，羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/5 22:03:33；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$