第10章 分式（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、用分式表示数 【解惑】春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．已知每个人做某项工作的效率相同，m个人做d天可以完成，若增加r人，则完成工作所需的天数为 ． 3．某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 类型二、分子和分母化正、整 【解惑】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 3．不改变分式的值，化简：＝ ． 类型三、分式的变形求值 【解惑】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．已知，则代数式的值为 ． 3．已知，则的值为 ． 类型四、分式中的取值范围 【解惑】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【融会贯通】 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 2．若分式方程的值为正，则的取值范围是 ． 3．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 类型五、分式加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ﹣＝﹣ …第一步 ＝﹣                          …第二步 ＝﹣                       …第三步 ＝                           …第四步 ＝                             …第五步 ＝﹣                                 …第六步       任务一：填空： ①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； ② 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 类型六、分式乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)． 3． 计算 (1) (2) 类型七、分式的四则运算 【解惑】计算题 (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)． (2)． 2．计算 (1)； (2)． 3．化简：． 类型八、化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 2．化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 3．先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 类型九、解分式方程 【解惑】解方程 (1) (2) 【融会贯通】 1．解下列分式方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型十、分式方程的解决应用 【解惑】某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运产品，甲机器人搬运产品所用的时间与乙机器人搬运产品所用的时间相同，乙机器人每小时搬运多少千克产品？ (1)下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：________同学的，改为正确的方程是________； 孙丽同学：设乙机器人每小时搬运产品．根据题意，得． 王宁同学：设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时．根据题意，得． (2)在（1）的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过程． 【融会贯通】 1．某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． (1)求第一次每双球鞋的进价是多少元？ (2)若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 2．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题： (1)A，B两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？ 3．某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)填一填： 设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需________天． 方案C中，甲队的工作总量是________，乙队的工作总量是________． (2)甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天？ (3)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【一览众山小】 1．寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列分式的约分正确的是(      ) A． B． C． D． 3．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较小的值，如，按照这个规定．方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．不确定 4．函数自变量的取值范围是 ． 5．对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 6．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 7．化简： (1) (2) 8．解方程 (1) (2) 9．先化简，再求值：，其中． 10．云南昭通苹果含糖量高，风味浓，肉质脆，比较细嫩，美味可口，今年李叔叔家种植的昭通苹果又获得丰收，先人工采摘了公斤苹果，然后引入采摘机器采摘了公斤，已知机器采摘的效率（单位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，机器采摘用时比人工采摘还少2天 (1)求机器采摘苹果的效率； (2)李叔叔把这两次采摘的苹果批发给销售商，批发单价为元/公斤，单独人工采摘费用为每天元，引入采摘机器后人工和机器合计每天元，求除去采摘费用，获得的利润为多少元? 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、用分式表示数 【解惑】春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 【融会贯通】 1．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 2．已知每个人做某项工作的效率相同，m个人做d天可以完成，若增加r人，则完成工作所需的天数为 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式，设每个人的工作效率均为1，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，进行求解即可． 【详解】解：设每个人的工作效率均为1，由题意，得：增加r人，则完成工作所需的天数为； 故答案为：． 3．某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 【答案】 【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元， 当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元， 则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元， 故答案为：． 类型二、分子和分母化正、整 【解惑】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 【融会贯通】 1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分子分母的系数都化为正数，只需分子分母同乘10再约分可. 【详解】，故选A. 【点睛】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键. 2．不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．不改变分式的值，化简：＝ ． 【答案】 【分析】根据分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案． 【详解】解： ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变． 类型三、分式的变形求值 【解惑】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选D． 2．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件式推出，再把整体代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据得，代入分式化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型四、分式中的取值范围 【解惑】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 【融会贯通】 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】由于分式的值为负数，而分母x2+4一定是正数，可知分子2x-5小于0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母x2+4>0， ∴2x-5<0， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．解题的关键是得到关于x的不等式． 2．若分式方程的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键． 3．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式值为负的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：∵＜0 ∴x-2＜0，即． 故填：． 【点睛】本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键． 类型五、分式加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，进行约分即可； （2）根据分式的加减法运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可； （3）根据分式的加减法运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、分式的加减法，解本题的关键在熟练掌握分式的加减法法则． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，再进行加减计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可； （2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可． 【详解】（1）解：， = = =1； （2）解： . 【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 3．（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ﹣＝﹣ …第一步 ＝﹣                          …第二步 ＝﹣                       …第三步 ＝                           …第四步 ＝                             …第五步 ＝﹣                                 …第六步       任务一：填空： ①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； ② 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）（2）任务一：①三；分式的基本性质②五；括号前是负号，去括号后，括号里的第二项未变号；任务二：；任务三：见解析（答案不唯一） 【分析】(1)先计算0次幂，负整数指数幂，整数指数幂，再进行加减运算即可； (2)①根据分式的通分的定义进行判定即可得出答案；②根据去括号的法则即可得到第五步出现错误；应用分式的加减运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】(1) =1-9+1 =-7； （2）任务一：解：①根据题意，以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的性质； 故答案为：三，分式的性质； ②第五步出现错误，出现错误的原因是括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号： 故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二：； ﹣ ＝﹣ ＝﹣                          ＝﹣                       ＝                           ＝                       ＝； 任务三：分式的加减运算时，要注意分母不变，分子相加减时，要注意分子作为一个整体要打上括号，在去括号时，括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的各项要变号； 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，分式加减运算，通分，熟练掌握分式加减运算的法则进行求解是解决本题的关键． 类型六、分式乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的减法运算法则即可求出答案． （2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）先通分，再算加法，最后进行约分即可； （）先对分子分母进行因式分解，然后把除法转化为乘法，最后约分即可； （）先计算括号内运算，然后把除法转化为乘法，最后再计算分式乘法进行约分，即可得到答案； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简，分式的混合运算，掌握分式的性质，混合运算法则是解题的关键． （1）先确定符号，再根据分式的性质进行约分化简即可求解； （2）运用乘法公式因式分解，再根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3． 计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把分子分母因式分解，再根据分式的运算法则计算即可； （2）先计算括号内，再根据分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型七、分式的四则运算 【解惑】计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，整式四则混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． （1）先将括号内的第一项的分子分母进行因式分解，约分后再与第二项相减，得出结果后再将除法运算转化为乘法运算，约分后即可得出答案； （2）按照整式的四则混合运算法则进行计算即可——先计算乘除，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算和分式混合运算； （1）先利用平方差公式和单项式乘以多项式进行运算，在进行加减运算，即可求解； （2）先对括号内进行通分运算，同时将除法化为乘法，并将分子、分母进行因式分解，再进行乘法运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解； 掌握运算步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （）运用分式混合运算法则即可求解； 本题主要考查了整式的运算，分式的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简：． 【答案】 【分析】题目主要考查分式的化简，先计算括号内的加法运算，然后将除法转化为乘法计算即可． 【详解】解： ． 类型八、化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据分式混合运算法则进行计算，然后求出，再代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则先算括号里面的，再计算除法完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时 原式． 2．化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握方法是解答本题的关键，先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 当时， 原式， ． 3．先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 类型九、解分式方程 【解惑】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：，即， 两边都乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 两边都乘以，得 ，即， 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无解． 【融会贯通】 1．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，将分式方程转化成整式方程求解，解分式方程注意要检验． （1）方程两边同时乘以，化成整式方程求解，再检验即可； （2）方程两边同时乘以，化成整式方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； ∴原分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案； （2）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程增根， ∴原方程无解． 3．解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是去分母，把分式方程化为整式方程，最后注意检验是否为增根． （1）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （2）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （3）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （4）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （3）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （4）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为． 类型十、分式方程的解决应用 【解惑】某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运产品，甲机器人搬运产品所用的时间与乙机器人搬运产品所用的时间相同，乙机器人每小时搬运多少千克产品？ (1)下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：________同学的，改为正确的方程是________； 孙丽同学：设乙机器人每小时搬运产品．根据题意，得． 王宁同学：设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时．根据题意，得． (2)在（1）的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过程． 【答案】(1)孙丽， (2)解答过程见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据孙丽同学所设未知数及结合题意可进行求解； （2）根据题意结合孙丽与王宁两位同学的解答过程可进行求解 【详解】（1）解：由题意可知：错误的是孙丽同学，正确的方程是； 故答案为孙丽，； （2）解：若选择孙丽，解答过程如下： 设乙机器人每小时搬运产品．根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：乙机器人每小时搬运产品． 若选择王宁，解答过程如下： 设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时．根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴； 答：乙机器人每小时搬运产品． 【融会贯通】 1．某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． (1)求第一次每双球鞋的进价是多少元？ (2)若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 【答案】(1)第一次每双球鞋的进价是70元 (2)最低打6折 【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设第一次每双球鞋的进价是x元，由题意易得，然后求解即可； （2）设应打y折，根据题意可得不等式，进而求解即可． 【详解】（1）解：设第一次每双球鞋的进价是x元， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次每双球鞋的进价是70元． （2）解：设应打y折， 依题意得：双， ， 解得：， 答：最低打6折． 2．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题： (1)A，B两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案：方案：购进个种书包，个种书包；方案：购进个种书包，个种书包；方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 3．某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)填一填： 设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需________天． 方案C中，甲队的工作总量是________，乙队的工作总量是________． (2)甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天？ (3)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】(1)；； (2)甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项丁程需25天 (3)选方案C 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，甲队的工作总量为，乙队的工作总量为； （2）设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，根据甲队工作4天完成的工作量+乙队完成的工作量=1，列方程求解； （3）根据（2）求出的甲乙完成需要的时间，结合已知求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天， 在方案中，甲队的工作总量为，乙队的工作总量为； 故答案为：；；； （2）解：设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项丁程需25天； （3）解：方案A：（万元）， 方案B：（万元），但是耽误工期，不符合题意，故舍掉． 方案C：（万元）， ∵， ∴选方案C． 【一览众山小】 1．寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 2．下列分式的约分正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； B、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； C、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较小的值，如，按照这个规定．方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，实数的大小比较，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况求解：当时和当时，分别得到分式方程，求解并检验即可得到答案． 【详解】解：当时，即，， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，即，， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选：A． 4．函数自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可求出函数自变量的取值范围． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 5．对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 【答案】 3 2或8 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，新定义运算，解题的关键是理解题意，弄清新定义运算法则．根据新定义运算，列出算式计算即可． 【详解】解：， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解； 综上，的值为8或2； 故答案为：3；2或8． 6．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴或或， 解得或1或3， 当时，， 解得，此时，符合题意； 当时，， 解得，此时，不合题意，舍去； 当时， 解得，此时，符合题意； 所以或3． 故答案为：0或3． 7．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，同时利用除法法则变形，然后根据分式的乘法法则进行计算； （2）先通分，然后计算减法，最后化简即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．解方程 (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练分式的四则运算法则是解题的关键．先根据分式的四则运算法则化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 代入，原式． 10．云南昭通苹果含糖量高，风味浓，肉质脆，比较细嫩，美味可口，今年李叔叔家种植的昭通苹果又获得丰收，先人工采摘了公斤苹果，然后引入采摘机器采摘了公斤，已知机器采摘的效率（单位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，机器采摘用时比人工采摘还少2天 (1)求机器采摘苹果的效率； (2)李叔叔把这两次采摘的苹果批发给销售商，批发单价为元/公斤，单独人工采摘费用为每天元，引入采摘机器后人工和机器合计每天元，求除去采摘费用，获得的利润为多少元? 【答案】(1)公斤/天 (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设人工采摘效率为公斤/天，则机器采摘效率为公斤/天，由题意得：，据此即可求解； （2）由（1）计算出单独人工采摘和引入采摘机器后人工和机器采摘的天数即可求解； 【详解】（1）解：设人工采摘效率为公斤/天，则机器采摘效率为公斤/天， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴机器采摘苹果的效率为公斤/天； （2）解： ， ∴除去采摘费用，获得的利润为元 6 学科网（北京）股份有限公司 $$