10.5 分式方程 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

10.5 分式方程 一、分式方程 1、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的重要特征是：等式；方程里含有分母；分母中含有未知数。 2、分式方程与整式方程的区别 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 3、分式方程的解法 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程。转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。解分式方程的一般步骤包括： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。注意，当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。 （2）解这个整式方程，求出整式方程的解。 （3）检验。将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 在解分式方程时，需要注意可能产生的增根。增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解。因此，在得到整式方程的解后，必须进行检验，以确定其是否为原分式方程的解。 二、分式方程的应用 分式方程在解决实际问题时具有广泛的应用，如工程问题、行程问题、浓度问题等。在解决这类问题时，需要先根据题意设立未知数，然后利用已知条件列出分式方程，最后通过解方程求出未知数的值，从而解决问题。 解决分式方程应用问题的关键在于理解题意，正确设立未知数，并准确列出分式方程。同时，在解方程时需要注意检验，以确保解的正确性。 巩固课内例1:解分式方程 1．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 先去分母，然后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：为原分式方程的根， 故选：B． 2．方程的解为 ． 【答案】/1 【分析】本题考查了解分式方程，先化成一元一次方程，即可得出答案． 【详解】 ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 检验：当，时，， ∴是原方程的解． 巩固课内例2:解分式方程(含增根) 1．解分式方程，可知方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验． 2．方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．先把分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 经检验是原分式方程的解． 故答案为： 3．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘，得 ， 解得：． 检验：代入． 是增根，原方程无解． 巩固课内例3:分式方程的应用——原计划问题 1．某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道，原计划每天改造人行步道米，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出表示方程的实际含义．根据题意和题目中的方程可知，实际每天改造人行步道x米，则原计划每天改造人行步道米，实际比原计划提前天，从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天改造人行步道米，列方程得， 故选A． 2．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，铺设后，为加快工期，后来每天的工效比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．如果设原计划每天铺设管道，那么可列方程为 ． 【答案】 或 【分析】所求的是原计划的工效，工作总量是300，一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的关键描述语是：“后来每天的工效比原计划增加”；等量关系为：结果共用30天完成这一任务． 【详解】 解：因为原计划每天铺设管道，所以后来的工作效率为， 根据题意，得 ． 或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 3．2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，当地加强了防控措施，对外出进行限制，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？ 【答案】小伟原计划每天做2页数学寒假作业． 【分析】设小伟原计划每天做x页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做页，根据“做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设小伟原计划每天做x页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做页，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 巩固课内例4:分式方程的应用——和差倍分问题 1．昆明市区与石林风景区相距约为，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计）， 已知小轿车的速度是旅游大巴速度的 1.5 倍．若设旅游大巴的速度为，则所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设旅游大巴的速度为，根据乙所用的时间甲所用的时间，列方程即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题．读懂题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：若设旅游大巴的速度为，根据题意可得 ． 故选：B． 2．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为，根据“结果甲比乙早到”列方程即可得到结论．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为， 根据题意得：． 故答案为：． 3．“书香润泽生命，阅读陪伴成长”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． (1)（列分式方程解应用题）乙种图书的单价是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠（九折优惠指实际出售单价是原来单价的倍），乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，则学校最多购进甲种图书多少本？ 【答案】(1)乙种图书的价格是15元； (2)学校最多购进甲种图书200本． 【分析】本题主要考查分式方程的应用以及一元一次不等的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元，根据题意列出方程即可得到答案； （2）设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书本，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙种图书的价格是15元； （2）解：由（1）可知，（元）， 设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多购进甲种图书200本． 类型一、分式方程的定义 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．请写出一个解为4的分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可． 【详解】解：写出一个解为4的分式方程为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 类型二、列分式方程 1．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 2．兰陵县蔬菜畅销全国各地，一运送蔬菜车开往距出发地 600 千米的目的地，由于接到新的订 单，每小时比原计划的速度提高，比原计划提前 40 分钟到达．设原计划速度为 x 千米/小时，则方程可列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．设原计划速度为千米小时，根据“运送蔬菜车开往距离出发地600千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“每小时比原计划的速度提高”，则实际的时间为：，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于的分式方程，即可得到答案． 【详解】解：设原计划速度为千米小时， 根据题意得： 原计划的时间为：， 实际的时间为：， 实际比原计划提前40分钟到达目的地， ， 故答案为：． 3．某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 【答案】(1)每件A商品的进价，购进A和B商品的数量 (2)50元；30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），根据题意即可解答； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，并检验即可． 【详解】（1）解：甲方程是A商品的数量和B商品的数量相同，乙方程是每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元， 所以x表示每件A商品的进价，y表示购进A和B商品的数量； 故答案为：每件A商品的进价，购进A和B商品的数量； （2）解：甲： ， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 解：乙， 整理，得， 去分母，得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， ∴A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 类型三、解分式方程 1．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据题意，等式两边同时乘以去分母即可，注意不能漏乘项． 【详解】解：分式方程去分母后变形， 故选：A ． 2．若关于x的分式方程的解为，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，先将代入分式方程中得到，然后解分式方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 故m的值为4， 故答案为：4． 3．解关于的分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 经检验，是增根， 所以分式方程无解． 类型一、分式方程的应用 1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了10万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季之前完成任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前20天完成了任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：实际工作时间为天， 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划工作时间为， ， 故选：D． 2．已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 3．一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度． 【答案】千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出等量关系是解题的关键，设汽车原计划的行驶速度是千米/时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设汽车原计划的行驶速度是千米/时，根据题意，得： 解之得： 经检验，是原方程的解 类型二、分式方程解的参数范围 1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， 且 故选：C 2．若分式方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意得出不等式组是解决问题的关键． 去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 且， ， 且， 故答案为：且． 3．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 类型三、分式方程的无解问题 1．若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 2．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．分式方程先去分母，化简得，根据分式方程无解得到，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 化简得：， 方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 类型一、分式方程解为整数 1．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式组和分式方程的能力，根据不等式组的解集情况和分式方程的解得出关于a的范围是解题的关键．先解出不等式组，然后由不等式组有且只有3个整数解可得a的范围；再解分式方程可得，根据分式方程有负整数解可得a的值，两者结合最终确定a的值． 【详解】解： 由①得： ， 由②得：， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， 由方程得： ∵方程有正整数解， ∴，4 又∵， ∴，4 ， 故选：C． 2．已知关于的分式方程有非负整数解，且存在边长为4，a，6的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】17 【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，三角形三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出分式方程的解为，然后根据题意得到，且y为非负整数，且，求出，且，然后根据三角形三边关系得到，综合求出或5或9，进而求解即可． 【详解】 解得 ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴，且y为非负整数，且 ∴，且 ∵存在边长为4，a，6的三角形 ∴ ∴ ∴或5或9 ∴． ∴所有满足条件的整数的值之和为17． 故答案为：17． 3．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键． 根据题意解不等式组的解集，然后根据不等式组至少有个整数解，得出的取值范围，解分式方程，得，再根据，，得出的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组， 解得：， 关于的不等式组至少有三个整数解， ∴取， ， ． 解分式方程， 解得：， 关于的分式方程有可能产生增根， ， ， 关于的分式方程有整数解， 为整数， 又∵，， 或， 所有满足条件的整数的值的和为． 类型二、分式方程的规律 1．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解． 【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为； 经观察，第个方程为：． 将方程两边同乘以，得 ，即． 由题意知 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解． 2．观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 【答案】第n个方程为，其解为 【分析】本题主要考查了与分式方程有关的规律探索，观察可得规律，第n个方程左边的式子的分子为n，分母为，方程右边的式子，第一项分子为，分母为，第二项为，其解为，据此规律求解即可． 【详解】解：①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是； ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 3．观察下列算式：，，，··· (1)由上可以类似地推出下一个算式_____________． (2)用含字母的等式表示（1）中式子的一般规律（n为非零自然数）． (3)用以上规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键． （1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用拆项的方法化简方程，进而得到分式方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：下一个算式为， 故答案为：； （2）解：由题可得：（1）中式子的一般规律为：； （3）解：根据规律得：， 即， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 原方程的解为． 类型三、分式方程的新定义 1．定义一种新运算（且）．若，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，新定义等知识，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后解分式方程即可，注意解分式方程要检验． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选：B． 2．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）①由，得 ，， 则，解得， ②由，得，则不等式组 ，可化为 整理得， 解得． ∵不等式组，恰好有3个整数解， ∴其整数解为0，1，2， ∴． 解得． （2）∵对于任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 即，对于任意实数x，y都成立， 故， ∴． 1．下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 2．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天，根据工作效率=工作总量工作时间，结合采用新技术后每天生产增加10件，即可得出关于x的分式方程，求解即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天， 依题意得：， 故选：． 4．在如图所示的正方形数阵中规定运算：，若，则 ，此时关于 的分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，结合已知条件求得的值是解题的关键．根据题意求得的值后代入分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 即， 解得：， 则分式方程为， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故分式方程的解为， 故答案为：；． 5．若关于x的方程增根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根，去分母后确定x的值是求解本题的关键．根据增根概念进行计算． 【详解】解：方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入得 ， 故答案为：． 6．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，由分式方程的解求参数，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，再解分式方程得到，进而根据分式方程的解为非负整数，可得，为整数，即得，即可得，再根据分式方程有意义的条件可得，即得得到符合条件的整数的值，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出整数的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且为整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或， 又∵， ∴， ∴， 综上，符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的整数的值之和为， 故答案为：． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 8．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 9．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5 分式方程 一、分式方程 1、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的重要特征是：等式；方程里含有分母；分母中含有未知数。 2、分式方程与整式方程的区别 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 3、分式方程的解法 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程。转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。解分式方程的一般步骤包括： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。注意，当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。 （2）解这个整式方程，求出整式方程的解。 （3）检验。将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 在解分式方程时，需要注意可能产生的增根。增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解。因此，在得到整式方程的解后，必须进行检验，以确定其是否为原分式方程的解。 二、分式方程的应用 分式方程在解决实际问题时具有广泛的应用，如工程问题、行程问题、浓度问题等。在解决这类问题时，需要先根据题意设立未知数，然后利用已知条件列出分式方程，最后通过解方程求出未知数的值，从而解决问题。 解决分式方程应用问题的关键在于理解题意，正确设立未知数，并准确列出分式方程。同时，在解方程时需要注意检验，以确保解的正确性。 巩固课内例1:解分式方程 1．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程：． 巩固课内例2:解分式方程(含增根) 1．解分式方程，可知方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．解方程：． 巩固课内例3:分式方程的应用——原计划问题 1．某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道，原计划每天改造人行步道米，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，铺设后，为加快工期，后来每天的工效比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．如果设原计划每天铺设管道，那么可列方程为 ． 3．2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，当地加强了防控措施，对外出进行限制，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？ 巩固课内例4:分式方程的应用——和差倍分问题 1．昆明市区与石林风景区相距约为，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计）， 已知小轿车的速度是旅游大巴速度的 1.5 倍．若设旅游大巴的速度为，则所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 2．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是 ． 3．“书香润泽生命，阅读陪伴成长”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． (1)（列分式方程解应用题）乙种图书的单价是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠（九折优惠指实际出售单价是原来单价的倍），乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，则学校最多购进甲种图书多少本？ 类型一、分式方程的定义 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．请写出一个解为4的分式方程： ． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 类型二、列分式方程 1．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．兰陵县蔬菜畅销全国各地，一运送蔬菜车开往距出发地 600 千米的目的地，由于接到新的订 单，每小时比原计划的速度提高，比原计划提前 40 分钟到达．设原计划速度为 x 千米/小时，则方程可列为 ． 3．某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 类型三、解分式方程 1．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的分式方程的解为，则m的值为 ． 3．解关于的分式方程：． 类型一、分式方程的应用 1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了10万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季之前完成任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前20天完成了任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为： ． 3．一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度． 类型二、分式方程解的参数范围 1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 2．若分式方程的解为正数，则的取值范围为 ． 3．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 类型三、分式方程的无解问题 1．若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 2．关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 类型一、分式方程解为整数 1．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知关于的分式方程有非负整数解，且存在边长为4，a，6的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 3．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 类型二、分式方程的规律 1．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 3．观察下列算式：，，，··· (1)由上可以类似地推出下一个算式_____________． (2)用含字母的等式表示（1）中式子的一般规律（n为非零自然数）． (3)用以上规律解方程： 类型三、分式方程的新定义 1．定义一种新运算（且）．若，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 3．对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 1．下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 3．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 4．在如图所示的正方形数阵中规定运算：，若，则 ，此时关于 的分式方程的解为 ． 5．若关于x的方程增根，则a的值为 ． 6．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 7．解方程：． 8．解分式方程：． 9．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$