10.4 分式的乘除 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

10.4 分式的乘除 一、分式的乘法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：乘以等于。 二、分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。即除以等于乘以，也等于。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。 三、分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算，运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号先算括号里面的。要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号。分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式。 四、注意事项 1.运算时顺序合理、步骤清晰。 2.运算结果必须化成最简分式或整式。 3.要注意符号法则，两数相乘，同号得正，异号得负。多个因式相乘，若负因数个数为奇数，则积为负；若负因数个数为偶数，则积为正。 巩固课内例1:分式的乘法计算(含乘方) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2． 3．计算： 巩固课内例2:分式的除法计算(含因式分解) 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简：÷＝ ． 3．计算：． 巩固课内例3:化简求值 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，求值：= 3．先化简，再求值：计算，其中． 巩固课内例4:分式的加减乘除混合运算 1．化简：（    ） A．1 B． C．0 D． 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) 类型一、分式的乘法 1．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将化成不含负指数幂的形式 ． 3．计算： (1) (2) 类型二、分式的除法 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 3．化简： (1)； (2)． 类型三、分式的乘方 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算： 类型一、含乘方的分式乘除混合运算 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．当，时， ． 3．计算： (1) (2)． 类型二、分式加减乘除混合运算 1．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算： ． 3．计算： (1) (2)； (3)； (4)． 类型三、分式化简求值 1．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么的值是 ． 3．先化简，再求值：，其中． 类型一、分式乘除中的规律 1．观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示 ． 3．观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 类型二、分式乘除中的新定义 1．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①；        ②；        ③；        ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 4．若，则＝ ． 5．学校绿化养护原本采用漫灌的方式，吨水可用天．为了节约用水，现采用喷灌的方式，吨水可多用10天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的 倍． 6．已知，则代数式的值为 ． 7．化简：． 8．计算： (1)； (2)． 9．先化简再求值：，其中． 10．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4 分式的乘除 一、分式的乘法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：乘以等于。 二、分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。即除以等于乘以，也等于。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。 三、分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算，运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号先算括号里面的。要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号。分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式。 四、注意事项 1.运算时顺序合理、步骤清晰。 2.运算结果必须化成最简分式或整式。 3.要注意符号法则，两数相乘，同号得正，异号得负。多个因式相乘，若负因数个数为奇数，则积为负；若负因数个数为偶数，则积为正。 巩固课内例1:分式的乘法计算(含乘方) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故选D． 2． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式．据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 巩固课内例2:分式的除法计算(含因式分解) 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 把除法转化成乘法再约分即可． 【详解】解： 故答案为：B． 2．化简：÷＝ ． 【答案】 【分析】先进行因式分解，把除法变成乘法，进行约分即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握其运算法则是解题的关键． 先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 巩固课内例3:化简求值 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，由得，代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ． ． 故选：D． 2．已知，求值：= 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算化简求值，先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简，再通分化简，把已知变形为整体代入计算即可．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式． 故答案为：． 3．先化简，再求值：计算，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键． 先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案． 【详解】原式， 当时，原式． 巩固课内例4:分式的加减乘除混合运算 1．化简：（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算，注意：最终结果要化为最简分式． 【详解】解：， 故选B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先算分式的乘法，再算加法，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． （1）根据分式的加减法法则进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 类型一、分式的乘法 1．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．将化成不含负指数幂的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法与加法； （1）根据分式的乘法进行计算即可求解． （2）先通分，再根据分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 类型二、分式的除法 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．，此选项错误，不符合题意；     B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意；     D．，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 2．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先通分，再按同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 类型三、分式的乘方 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算．熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，根据分式的乘法运算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的除法、乘方运算． 先计算负整数指数幂和分式的乘方，再将除法化为乘法求解． 【详解】解： ． 类型一、含乘方的分式乘除混合运算 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 2．当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 3．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解； （2）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 类型二、分式加减乘除混合运算 1．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先约分，再根据同分线分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先把分子分母因式分解，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算； （3）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型三、分式化简求值 1．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， 原式； 故选：B 2．已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握等式性质及完全平方公式是解题的关键． 先根据题意得出，，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分后可得化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 类型一、分式乘除中的规律 1．观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】归纳总结得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】由a1=n，得到： 以为循环节3次一循环， ∵2013÷3=671， ∴ 故选D． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式的规律探索，分式的运算，解题的关键是求出各数值，发现规律求解．先求出，，，，，发现规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴3次一循环 ∵ ∴ 故答案为：． 3．观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据前4个等式即可得出答案； （2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：因为第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 所以 ， 故答案为：； （2）解：由（1）得出规律为： 第个式子为， 等式左边为， 等式右边为， 因为等式左边等式右边， 所以此等式成立． 类型二、分式乘除中的新定义 1．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论． 【详解】解：A.∵， ， ∴与不是和谐分式，故A不符合题意； B.∵， ， ∴与不是和谐分式，故B不符合题意； C.∵， ， ∴，故C符合题意； D.， ， ∴与不是和谐分式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和乘法运算法则． 2．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1012 【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1012． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①；        ②；        ③；        ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解； （2）依据题意，分子进而变形可以得解； （3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴①是和谐分式； ∵分式分子的次数低于分母次数， ∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质， ∴②不是和谐分式； ∵， ∴③是和谐分式； ∵， ∴④不是和谐分式； （2）解： ； （3）解：的结果是“和谐分式”． ∴该分式是和谐分式． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算，熟记相应的运算法则是解本题的关键． 2．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】贝泰妮考查了分式的约分及分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据分式的基本性质可判断A，C，D；根据分式的乘除混合运算法则可判断B． 【详解】解：A．不能约分，故不正确； B．，故不正确； C．， 正确； D．不能约分，故不正确； 故选C． 3．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【详解】解：A、，是分式，故此选项不符合题意； B、，是分式，故此选项不符合题意； C、，4是整式，故此选项符合题意； D、，是分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．若，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键在于审题，先求出的值，此题的易错点在于直接将的值代入．利用已知条件求出的值，化简，将的值代入即可求出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 5．学校绿化养护原本采用漫灌的方式，吨水可用天．为了节约用水，现采用喷灌的方式，吨水可多用10天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的 倍． 【答案】 【分析】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 6．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值． 根据，得出，再把代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 把代入 ， 故答案为：． 7．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，利用乘法法则和分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用乘方公式展开，再根据整式的混合运算法则计算即可； （2）先计算括号里分式，再根据分式除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解：原式 原式 10．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$