10.1 分式 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

10.1 分式 一、分式的定义 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中A是分式的分子，B是分式的分母。 二、分式有意义和无意义的条件 1、分式有意义的条件：分母不等于0。 2、分式无意义的条件：分母等于0。 三、分式值为0的条件 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 巩固课内例1:分式有、无意义、值为0 1．若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义，则分母不为零即可得出，求解即可． 【详解】解：若分式有意义，则x满足的条件是， 解得：， 故选：A． 2．若分式的值为零，则的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．特别注意分母不为零． 根据分式值为零的条件列式计算即可．分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴． 故答案为：． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 类型一、分式的定义 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义：形如的式子，A、B都是整式，且分母B中含有字母；根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； B、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； C、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； D、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．代数式，，，中分式有 个． 【答案】2 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：代数式，，，中分式有，，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意π是一个具体的数，不是字母． 3．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 类型二、分式有、无意义 1．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围、分式的分母不等于0，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 即函数中自变量的取值范围是， 故选：D． 2．当 时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：． 故答案为： ． 3．如果分式无意义，的值为0，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 类型三、分式值为0 1．若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查分式值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为零且分母不为零）进行计算求解． 【详解】解：若分式的值为0 ∴且， 即，且或， ∴， 故选：B． 2．若分式的值为零，则x的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不等于零，据此列式解答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为． 3．当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)无解 (4) 【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 关键是熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键； （1）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （2）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （3）根据任何非零的数的平方都是非负数，当时，，分式无意义，故无解； （4）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； 【详解】（1）由，得． 当时，分式的值为0． （2）， 又， 即． 当时，分式的值为0． （3）时，， 分式无意义， 没有使分式的值为0的值． （4）由 ， 得 当时，分式的值为0． 类型一、用分式表示数 1．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来． 【详解】． 故选：C 【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键． 2．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶的时间为，然后再根据平均速度的计算方法表示出火车的平均速度． 【详解】一辆汽车行驶了，则它的平均速度为，一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为， 故答案为：， 3．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【答案】天 【分析】此题考查了列分式，首先求出物资总量，然后除以每天运送的吨数即可求解． 【详解】∵运输一批物资，原计划每天运，n天运完 ∴物资总量为， ∵实际每天比原计划多运， ∴实际每天运送， ∴实际运输了天． 类型二、分式变形求值 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】考查分式的化简． 先用a表示b，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选C． 2．若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的求值，由题意得，等式两边同时除以得：，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时除以得：， 故答案为：2 3．已知x，y满足，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 类型三、分式中的取值范围 1．分式的值为负数的条件是（  ） A． B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案． 【详解】解： ， 因为分式的值为负数， ∴ 或者 ∴ 且 故选： ． 【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值与分子、分母的关系是解题的关键． 2．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 3．已知分式的值为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式的值，类比“两数相除同号得正，异号得负”的道理，可知“分式的值为负数”时，分子与分母的值异号，即“一正一负”，因此得到或两个不等式组，通过解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：由题意，得（1）或（2）． 不等式组（1）无解； 解不等式组（2），得． ∴的取值范围是． 类型四、分式求整 1．若分式的值为整数，则整数m可能值的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意得到m﹣1为4的约数，确定出m的值，即可求出答案． 【详解】解：分式的值为整数， ∴m﹣1＝±1，±2，±4， 解得：m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3， ，即， 经检验，m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3均符合题意， 则整数m可取的值的个数是6个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的值，根据题意判断出m﹣1为4的约数是关键，注意分母不能为零． 2．若分式的值为整数，则正整数 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握有理数的整除的性质是解题的关键． 利用已知条件得到的值，进而解答即可． 【详解】解：∵分式的值是整数，m是正整数， ∴的可能值为：1，2， ∴或3． ∴正整数2或3． 故答案为： 2或3． 3．求所有的正整数，使得为整数． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查了分式的化简；把化为，则为8的正整数因数，即可求得n的值．把分式表示为整式与分式的和的形式是解题的关键． 【详解】解：因为为正整数， 则为整数， 故为正整数， 则为8的正整数因数，且， 故， 故． 类型一、分式中的规律 1．若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过题目给的x2与x1 ，x3与x2， x4与x3，……等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3， x4，……从而找到规律，进而得到结果． 【详解】解：， ， ， 由此可知，， 2020÷3=673……1． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键． 2．观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式相关的规律探索，观察所给式子可得规律第n个分式为，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 以此类推可知，第n个分式为， ∴第10个分式为， 故答案为：． 3．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 类型二、分式中的新定义 1．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ） A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2 【答案】C 【分析】①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解； 【详解】依题意得 ，即：b=3 ,即a=1 所以 整理得 解得 所以整数解是0，1 故选：C 【点睛】此题考查了分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题的关键． 2．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 即 ∴， 故答案为：． 3．关于任意整数、定义如下法则：，，． (1)若的值为0，无意义，求的值； (2)若的值为整数，求正整数的值； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)正整数x的值为4或9或24； (3) 【分析】题目主要考查新定义的运算，分式有意义的条件及不等式组的应用及相反数的意义，理解新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算得出，，然后得出，再由题意即可确定，同理，，得出，再代入计算即可； （2）根据新定义运算确定，设（q为整数），根据题意得出，分别确定x的值即可； （3）根据相反数得出，运用新定义法则计算整理得出，然后结合题意确定方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， ∵的值为0， ∴， ∴且， ∴，     ，， ， ∵无意义， ∴， 解得：， ∴； （2） ， 设（q为整数）， ∵x为正整数， ∴q为正整数， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：正整数x的值为4或9或24； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 整理得：，即， ∵，， ∴或或或， 解得：或或或， ∵m,n为整数， ∴， ∴． 类型三、倒数法 1．已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，完全平方公式，代数式求值，先由完全平方公式得出，再进行分式运算即可，解题的关键是用到了整体代入的思想． 【详解】解：∵， ∴， ∴，整理得：， ∴， 代入得： ， 故选：． 2．若，则分式的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】取原式倒数，可得，再取原式的倒数并变形得：，最后代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键． 3．已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)17 (2)7 【分析】本题考查代数式求值，分式的求值： （1）根据，得到，整体代入法进行求解即可； （2）等式两边同时除以，得到，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 2．若分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0和2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0，这两个条件缺一不可．分式的值为零：分子为零，且分母不为零，列出方程与不等式，即可解答． 【详解】解：根据题意，得 且， 解得． 故选：B． 3．若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的值为整数的情况，以及数的整除性问题，把用含的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，即可求出的最大值． 【详解】解：， ， ，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 故选：C． 4．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 5．分式，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 6．若，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的基本性质、完全平方公式变形求值，解答的关键是分式的基本性质的灵活运用．先将化为，进而求得，将分子、分母同除以得到，进而代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵ ． 故答案为：3． 7．下列分式，当x取何值时有意义． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式有意义的条件进行解答即可； （2）根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】（1）解：要使分式有意义， 则分母， 解得：； （2）解：要使分式有意义， 则分母， 解得：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的个关键是熟练掌握要使分式有意义，则分母不等于0． 8．已知－＝4，求的值． 【答案】． 【分析】去分母，得出b－a＝4ab，整体代入即可求值． 【详解】解：∵－＝4， 两边同时乘以ab，得 ∴b－a＝4ab， ∴a－b＝-4ab， ∴＝＝． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 9．回答下列问题 (1)若，则________，________． (2)若，则________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6；2 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式的变形可知据此求解即可； （3）先根据已知式子求出，同（2）求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：6；2； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 10．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 分式 一、分式的定义 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中A是分式的分子，B是分式的分母。 二、分式有意义和无意义的条件 1、分式有意义的条件：分母不等于0。 2、分式无意义的条件：分母等于0。 三、分式值为0的条件 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 巩固课内例1:分式有、无意义、值为0 1．若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则的取值为 ． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 类型一、分式的定义 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式，，，中分式有 个． 3．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 类型二、分式有、无意义 1．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．当 时，分式无意义． 3．如果分式无意义，的值为0，求的值． 类型三、分式值为0 1．若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 2．若分式的值为零，则x的值是 ． 3．当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、用分式表示数 1．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 2．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 3．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 类型二、分式变形求值 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．若，则的值是 ． 3．已知x，y满足，求分式的值． 类型三、分式中的取值范围 1．分式的值为负数的条件是（  ） A． B．且 C．且 D．，且 2．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 3．已知分式的值为负数，求的取值范围． 类型四、分式求整 1．若分式的值为整数，则整数m可能值的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若分式的值为整数，则正整数 ． 3．求所有的正整数，使得为整数． 类型一、分式中的规律 1．若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是 ． 3．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 类型二、分式中的新定义 1．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ） A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2 2．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 3．关于任意整数、定义如下法则：，，． (1)若的值为0，无意义，求的值； (2)若的值为整数，求正整数的值； (3)若与互为相反数，求的值． 类型三、倒数法 1．已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则分式的值为 ． 3．已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 1．在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0和2 3．若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 4．若分式有意义，则的取值范围是 ． 5．分式，则 ． 6．若，求 ． 7．下列分式，当x取何值时有意义． (1)； (2)． 8．已知－＝4，求的值． 9．回答下列问题 (1)若，则________，________． (2)若，则________； (3)若，求的值． 10．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$